Документ: 5499, страницы 36-40 | База студенческих работ

Материал: 5499

Смотрите также:

		36
2	xi	x	2	– простая,
		n		– простая,
		n
2	хi	х 2	f	– взвешенная.
		f		– взвешенная.
		f

Существует упрощенный способ расчёта дисперсии:

2 x 2 (x)2 ,

Причём, для несгруппированных данных средняя арифметическая

вычисляется по формуле x	x	, а средняя квадратическая − x 2					x	2	.
вычисляется по формуле x	n	, а средняя квадратическая − x 2					n		.
	n						n
Для сгруппированных данных − x			xf	, x 2	x2 f	.
Для сгруппированных данных − x				, x 2		.
			f		f

4. Среднеквадратическое отклонение – это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности:

2 .

5. Коэффициент вариации − это относительный показатель вариации, который используется для сравнения колебаний разнородных явлений, разных по своему характеру и размерам признаков. С помощью коэффициента вариации определяется степень однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.


V		100 , V		d	100 .
V	x	100 , V	d	x	100 .
			d

Определение показателей вариации по несгруппированным данным

Пример 1. По приведённым данным о количестве счетов физических лиц, обслуживаемых филиалами коммерческих банков рассчитать: а) размах вариации; б) среднее линейное отклонение; в) дисперсию (двумя способами); г) среднее квадратическое отклонение; д) коэффициент вариации. Оцените количественную однородность совокупности.

Решение:

37

Расчётные данные представим в таблице

Филиал	Количество счетов физиче-		x x	(x x)2	x 2

банка	ских лиц, тыс. ед., x

1	2	3		4	5
1	6,0	0,36		0,129 6	36,00
2	2,5	3,14		9,859 6	6,25
3	6,2	0,56		0,313 6	38,44
4	5,2	0,44		0,193 6	27,04
5	8,3	2,66		7,075 6	68,89
Итого	28,2	7,16		17,57 2	176,62

	1.Размах вариации : R									xmax				xmin			8,3				2,5			5,8 тыс. ед.
		2. Среднее линейное отклонение:
			xi	x		6		5,64	2,5	5,64					6,2		5,64						5,2	5,64			8,3	5,64	1,43 тыс.ед.


d
d			n												5
			n												5
(графа 3)
									x		x		28,2				5,64				тыс. ед. (графа 2)

											n				5
											n				5
	3. Дисперсия
2			xi		x 2			(6 5,64)2			(2,5		5,64)2				(6,2 5,64)2									(5,2		5,64)2 (8,3 5,64)2
				n																	5
	17,572					3,51 (графа 4), или									2		x 2			(x)2				36,32		5,642 3,51
															2
	5
	5
		x 2		x2			62	2,52	6,22		5,22				8,32				176,62					36,32 (графа 5)
		x 2		n						5											5			36,32 (графа 5)
				n						5											5

	4. Среднеквадратическое отклонение:																							2				1,87 тыс. ед.
																								2		3,51
																										3,51

	5. Коэффициент вариации: V															d	100					1,43			25,35 % или
	5. Коэффициент вариации: V												d			x	100				5,64				25,35 % или
													d

										V				100				1,87			100			33,23 %.
										V		x		100			5,64				100			33,23 %.
												x					5,64

В нашем примере коэффициент вариации незначительно превышает 33%, и можно предположить, что среднее число количество счетов физических лиц является типичным, т.е. совокупность однородна.

Определение показателей вариации по сгруппированным данным

Пример 2. Распределение длины пробега автофургона характеризуется следующими данными:

38

Длина пробега	До 40	40-50	50-60	70-80	80-90	80	и	Итого
за один рейс, км						выше
Число рейсов за	20	25	14	18	8	5		90
месяц

Определите: а) среднее линейное отклонение; б) дисперсию (двумя способами); в) среднее квадратическое отклонение; г) коэффициент вариации. Оцените количественную однородность совокупности.

Решение:

Расчётные данные представим в таблице

Длина про-	Число		Середина		xf				x x 2 f	x 2 f
Длина про-	Число		Середина		xf		x x	f	x x 2 f	x 2 f
бега за один	рейсов	за	интервала,	x
рейс, км	месяц,	f

1	2		3		4	5			6	7

До 40	20		35		700	364,44			6 640,99	24 500
40–50	25		45		1 125	205,56			1 690,12	50 625
50–60	14		55		770	24,89			44,25	42 350
70–80	18		65		1 170	212,00			2 496,89	76 050
80–90	8		75		600	174,22			3 794,17	45 000
80 и выше	5		85		425	158,89			5 049,14	36 125
Итого	90		-		4 790	1 140			19 715,56	274 650

1. Среднее линейное отклонение:

				xi	x		f		35	53,22		45	53,22			55	53,22		65	53,22	75	53,22	85	53,22


d
d					f													90
					f													90
1 140					12,67 км (графа 5)

90
90
	x		xf		35			20	45	25	55 14		65 18		75 8			85 5	53,22 км (графа 4)

				f								90
				f								90
2. Дисперсия:
2					хi х 2 f				(35		53,22)2		20 (45		53,22)2 25				(55 53,22)2			14 (65	53,22)2 18
						f													90
	(75	53,22)2						8	85	53,22 2		5	19714,56				2019,06		(графа 6)
														90			2019,06		(графа 6)
														90
или		2			x 2			(x)2		3051,67		(53,22)2			2019,06

39

x 2			x2 f		352 20	452	25 552 14	652	18 752			8 852	5		274650	3051,67
x 2				f			90								90	3051,67
				f			90								90
(графа 7)

3. Среднеквадратическое отклонение:									2					14,8 км
									2			2019,06
												2019,06
4.	Коэффициент вариации:

V		d		100	12,67	100	23,8 %,	V			100	14,8	100		27,8 %
V				100		100	23,8 %,	V			100		100		27,8 %
d		x			53,22					x		53,22
		x			53,22					x		53,22

Данные рассчитанных коэффициентов вариации, свидетельствуют о том, что совокупность однородна, т.к. коэффициенты вариации меньше 33%.

Использование коэффициента вариации для сравнения вариации в разных совокупностях

Пример 3. Основные фонды предприятий города производственной и непроизводственной сферы характеризуется следующими данными:

Среднегодовая стоимость основных фондов предприятий		Число предприятий
в сфере, млн руб.
производственной	непроизводственной
2,9	0,9	2
7,2	1,3	3
10,3	2,1	5
6,8	3,2	6
5,2	2,3	8

Определите по каждому виду основных фондов: средний размер основных фондов на одно предприятие и среднеквадратическое отклонение. Сравните вариацию, сделайте выводы.

Решение:

Расчётная таблица:

Среднегодовая	стоимость	Число	xf	x x	2	f	xf	x x	2	f
					2				2
основных фондов	предприятий в	предпри-
основных фондов	предприятий в	предпри-
сфере, млн руб.		ятий
производствен-	непроизводст-
ной	венной
2,9	0,9	2	5,8	29,19			1,8	3,60
7,2	1,3	3	21,6	0,69			3,9	0,37
10,3	2,1	5	51,5	64,05			10,5	12,51
6,8	3,2	6	40,8	0,04			19,2	52,37
5,2	2,3	8	41,6	18,50			18,4	34,24
Итого	-	24	161,3	112,48			53,8	103,09

40

1. Рассчитаем средние среднегодовой стоимости для предприятий производственной и непроизводственной сферы:

		xпроизв.						xf		2,9			2	7,2		3		10,3	5		6,8		6	5,2		8	161,3		6,7	млн руб.

									f									24									24
									f									24									24
		xнепроизв.							xf	0,9			2	1,3		3		2,1 5			3,2		6	2,3		8	53,8	2,24		млн руб.

									f									24									24
									f									24									24
2. Определим среднеквадратическое отклонение:
		2		хi					х 2 f	(2,9				6,7)2				2 (7,2				6,7)2		3		(10,3 6,7)2			5	(6,8	6,7)2	6
	произв.							f																	24
								f																	24
(5,2	6,7)2		8	112,48						4,69
							24			4,69
							24

																		2					2,16 млн руб.,
																		2	4,69
													произв.						4,69
													произв.
	2		хi			х 2 f				(0,9			2,24)2				2	(1,3			2,24)2			3	(2,1		2,24)2		5	(3,2	2,24)2	6
непризв.					f																			24
					f																			24
(2,3		2,24)2		8			103,9				4,29 ,
									24		4,29 ,
									24

																		2					2,07 млн руб.
																		2	4,29
												непроизв.							4,29
												непроизв.
3. Найдем коэффициенты вариации:
													V				100			2,16		100		32,2 %;
													V			x	100		6,7			100		32,2 %;
																x			6,7
													V				100		2,07			100		92,46 %.
													V		x		100		2,24			100		92,46 %.
															x				2,24

Результаты расчётов свидетельствуют, что совокупность предприятий по среднегодовой стоимости основных фондов в производственной сфере однородна, а непроизводственной сферы разнородна.

Расчёт групповой, межгрупповой и общей дисперсии (по правилу сложения дисперсий)

В случае, если совокупность разбита на группы по изучаемому признаку, то для данной совокупности могут быть исчислены следующие виды дисперсии: общая, групповые (внутригрупповые), средняя из групповых (средняя из внутригрупповых), межгрупповая.

Показатель

Филиал банка

Количество счетов физических лиц,

обслуживаемых филиалами коммерческих

банков, тыс. ед.