Материал: 5437

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Правило нельзя применять, если нет неопределённости

 

 

 

0

 

или

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5. lim

 

x2

2x 3 0

0 , при этом lim

2x 2 2 2 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x2

 

 

4x

 

 

 

 

 

 

 

6

 

4x 4 4 4 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛБ1. Найдите по правилу Лопиталя – Бернулли

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) а)

lim

sin 4x

;

 

 

 

б) lim

1

 

 

 

cos3x

;

 

 

в)

lim

 

1

 

 

 

ex

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) lim

 

ln 1

 

 

x

 

 

;

 

 

 

sin 6x

 

 

 

 

1

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

x

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

ln 1

 

 

x

 

 

 

 

 

 

2) а)

lim

sin 4x

;

 

 

 

б)

lim

1

 

 

 

cos4x

 

;

 

 

в)

lim

 

 

 

3x

9

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

lim

 

 

ln x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 6x

 

 

 

1

 

 

 

cos6x

 

 

 

 

 

 

2x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) а)

lim

x7

1

;

 

 

 

б)

lim

 

x7

 

 

1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

lim

x

3

 

 

8

;

 

 

 

 

 

 

 

г)

lim

 

 

x4

 

 

x3

 

 

8

 

;

x5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

x2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x5

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) а)

lim

 

 

x

1

;

 

 

 

б)

lim

 

 

 

 

 

x

8

;

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

lim

 

 

x

1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

lim

 

 

 

 

 

x

 

 

x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

x

1

 

 

 

 

 

 

x 64

 

 

x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5) а) lim

 

 

x

3

2

;

 

б) lim

 

 

 

 

x

 

 

4

 

 

2

;

 

в) lim

 

 

 

 

2x

 

 

3

 

 

 

3

;

 

г) lim

5

 

 

 

 

 

 

 

4x

9

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

x 8 3

 

 

 

 

 

x

0

 

 

 

 

x 9 3

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

5x 6 4

 

 

 

 

 

x 4

 

 

 

 

 

3 x 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Неопределённость

0

 

 

 

 

можно раскрыть, заменив на

 

 

 

0

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 6. Найдём lim x ln x

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

. Учтём, что x ln x

 

 

 

 

 

ln x

 

, тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

ln x

 

 

 

 

ln 0

 

 

 

 

 

 

lim

 

ln x

 

 

 

 

 

 

 

lim

1 / x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

1 x2

 

 

 

 

 

lim x

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 / x

 

 

 

1 / 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 / x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

1 / x

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Неопределённость

 

 

 

 

 

 

 

 

 

приводят к

0

 

 

, а затем – к

0

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 7. Найдём lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Преобразуем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

4

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

4

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

73

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Но

1

4

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

4

, и

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

. Тогда отношение произ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

2x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

водных можно упростить до

 

1

 

 

 

 

 

4

 

:

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

8x x

4

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

2x x

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значит,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

4

 

 

0 .

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

x

4

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В данном примере можно было сразу после взятия производных учесть, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

 

 

1 при x

 

, и не записывать громоздкий корень, а заменять числом 1.

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Однако так нельзя делать, если из корня такое же число 1 вычитается.

ЛБ2. Найдите по правилу Лопиталя – Бернулли

1) а)

lim x lg x ;

 

 

б) lim x log2 x ;

 

x 0

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) а)

lim x

x 1 ;

б) lim 6x

 

2x 1 ;

 

x

 

 

x

 

 

 

в)

lim sin x

ln x ;

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

lim 4 x

 

x 100 ;

 

x

 

 

 

3) а) lim x2 2x x ;

б) lim x2 8x x ;

в) lim x2 8x x .

x

x

x

Применение правила можно совмещать с переходом к эквивалентным бесконечным малым величинам и с подстановкой чисел.

Пример 8. lim

cos4 2x

1

 

 

0

 

 

 

, дифференцируем числитель и знаменатель:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0 cos3 5x

1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

cos4 2x

1

 

lim

4 cos3 2x

 

 

2 sin 2x

8

 

 

lim

sin 2x

cos3 2x

 

0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3cos2 5x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 5x

 

 

 

 

x

0

 

 

3

 

 

 

 

1

 

x 0

 

 

 

5sin 5x

 

15 x 0

 

sin 5x

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 5x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Но cos3

2

0

 

13

 

 

 

1 , cos2

5 0

12

 

1 , а при x

0

 

 

 

sin2x

 

2x и sin5x 5x , тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

8

lim

sin 2x

cos3 2x

 

 

8

 

lim

2x 1

8

 

lim

2

 

 

 

8

 

2

 

16

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 5x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15 x 0

sin5x

 

15 x 0

5x 1

15 x 0

5

 

 

 

15

5

75

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛБ3. Найдите по правилу Лопиталя – Бернулли

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 2x

 

1

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

 

 

cos2 4x

 

 

 

1) а) lim

 

cos x

1

;

б)

lim

 

;

в)

lim

 

;

 

 

г) lim

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos3 6x

 

 

sin3 x

 

 

 

 

x 0

 

 

 

cos x

1

 

 

 

x 0

 

 

1

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

x

sin3 3x

 

 

1) а) lim

 

 

ln2 x

;

 

 

 

 

 

 

б)

lim

 

ln2 x

 

;

 

 

 

 

в)

 

lim

ln2

 

x

;

 

 

 

 

г) lim

 

ln 1 4x

 

.

 

 

lg3

x

 

 

 

 

 

 

 

lg3

x

 

 

 

 

 

lg3

 

x

 

 

 

 

 

ln 1 3x

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

74

§ 9. Исследование функций и построение графиков

Учиться строить графики по результатам исследования функций лучше всего на занятиях вместе с группой. Возможны разные способы построения графика по уже проведённому исследованию, например,

–постепенное уточнение: «монотонность – выпуклость – асимптоты»;

–уточнение: «поведение на краях – асимптоты – монотонность – выпуклость»;

–соединение отрезков, на которых ничего не меняется (выпуклое убывание, выпуклое возрастание и т.д. – метод, популярный в средней школе).

Общая схема исследования функции

1) Элементарное исследование:

а) найти область определения (обязательно), область значений; б) точки пересечения с осями координат; в) чётность и (или) периодичность;

2) монотонность и экстремум:

а) найти корни производной и разместить их на числовой оси; б) выяснить знак производной на каждом полученном интервале; в) определить интервалы возрастания, убывания; г) найти точки минимума и максимума;

3) выпуклость и перегиб:

а) найти 2-ю производную, найти её корни и расставить их на числовой оси; б) – г) по аналогии с 2) определить интервалы выпуклости «вниз», «вверх»,

точки перегиба;

4)асимптоты графика (для многочленов этот шаг не имеет смысла);

5)график функции строится по всем особенным точкам и линиям, полученным

на предыдущих шагах.

Замечание 1. Под точкой минимума или перегиба подразумевается как абсцисса (значение переменной), так и ордината (значение функции в этой переменной). Таким образом, речь идёт о точках графика, а не точках числовой оси. В литературе в этом отношении часто встречаются противоречия в текстах.

Исследование на выпуклость обычно связано с вычислительными трудностями. Далее показано, как при помощи небольшого рассуждения упростить построение графика, обходясь без 2-й производной.

75

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Пример 1. Посмотрим, как можно построить график функции

y

x2

1 .

Замечаем, что функция не пересекает ось OX (уравнение

1

 

0 не имеет

x2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

корней). Кроме того, функция чётная – значит, график симметричен относитель-

но оси OY.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С ростом x от

 

до 0 величина

 

 

 

 

x2

1 убывает от

 

до 1. Обратная к

 

 

 

 

ней

величина

1

 

соответственно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

возрастает от

1

 

0 до

1

1 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

С другой стороны,

x2

1 растёт от

 

 

 

 

1 при x

0 до

 

при x

 

, тогда

 

 

 

 

обратная

величина

 

1

убывает

от

 

 

 

 

x2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1 при

x

0 до

 

1

 

при x

:

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подтверждается замечание о симметричности графика относительно верти-

кали. Объединяя графики, получаем такой набросок:

 

 

 

 

Однако график должен быть плавный, поскольку 1-я производная определена во всех точках. Поэтому с каждой стороны от оси OY график обязательно перегнётся:

76

Здесь решающую роль сыграло то, что график не пересекает ось OX. Иначе была бы возможна любая ситуация, например, такая:

Пример 2.

Функция y

x

1 нечётная,

и её график симметричен относи-

x2

тельно начала координат. Посмотрим, что происходит при

x

0 . Заметим, что

график пересекает ось OX в точке x

0 , и только в ней.

 

 

При

x

функция

y

0 ,

не

 

 

 

пересекая ось OX. Также при

x

0

 

 

 

функция положительна.

 

 

 

 

 

 

Получается, что где-то при

x

0

 

 

 

функция достигает максимума, и потом

 

 

 

убывает:

 

 

 

 

 

 

 

 

Но если функция будет выпукла вверх, она пересечёт ось OX при x 0 , а этого быть не должно. Значит, где-то после точки максимума график перегнётся и пойдёт выпуклостью вниз:

Учитывая симметрию относительно начала координат, получаем примерно такой график:

Здесь центр рисунка соответствует началу координат.

Поиск производных нужен, если интересуют конкретные координаты точек экстремума или перегиба. Кроме того, приведённые рассуждения определяют число точек экстремума или перегиба с точностью до чётного числа.

Так, в примере 2 при x 0 могла быть не 1, а 3 точки перегиба (но не 2 и не 4!), не 1 максимум, а 2 максимума и 1 минимум между ними, и т.д.

77

Источник: https://studfile.net/preview/16711097/

Смотрите также:

_Rezonans_napryazheniy
_Ugolov_Process_05
«Характеристика объектов коммерческой деятельности в торговле»
(никита)KUL_T_KL_EKZAMEN
[1 курс] БЖД
[ТЕСТЫ] по гистологии IMK №2
# Вопрос Ответ
01
04