Документ: 5437, страницы 6-10 | База студенческих работ

в) для пары f

x

x 2

и g x

ln x

находим g x

ln x

1

, тогда

x

x2

ln x

2x

1

;

x2

ln x

2x

1

;

x

2

ln x

2x ln x x

2

1

2x ln x x ;

x

2x ln x

x

2

1

x

2

x

2x ln x

x

;

ln x

ln x 2

ln2 x

3x2

5ln x

3 2x 5

1

6x

5

;

x

0,5x2 2 ln x

0,5 2x

2

1

x

2

.

x

ОД3. Найдите производную функции f

x , применив правило x p

px p 1 :

x 2 ;

x3 ;

а) f x

x ;

б) f x

в) f x

г) f x

x ;

x5 ;

5 x3 ;

7 x6 .

д) f x

3 x ;

е) f x

ж) f x

з) f x

m

Пример 3. Напомним, что n

xm

x n :

а) пусть f

x

x5 , тогда

f x

x5

5x5 1

5x4 ;

7

б) пусть

x7 , тогда

x7

x7 / 2

7

1

7

x

f

x

f

x

x 2

2

9

в) пусть

5 x9 , тогда

5 x9

x9 / 5

9

1

f

x

f

x

x 5

1,8x

5

5
2	3,5x	2,5		;
2

4 / 5 1,85			x4 .

ОД3а. Для функций

f x

из задания ОД3 составьте функцию

z x

1

,

f x

представьте z x

как z x

x p и найдите производную по правилу x p

px p 1 .

Пример 3а. Пусть даны функции

x4 ;

в) f x 7 x8 ;

8 x7 .

а) f x

б) f x

6 x ;

г) f x

1

m

Учтём, что

x n :

n

xm

58

а) если

f

x

x4 , то z x

1

x 4

, тогда z

x

x 4

4x 4 1

4x 5 ;

x4

1

7

б) если

f

x

6 x , то z x

x 6 , тогда z

x

x 6

x

6

x

6 ;

6

x

6

1

8

1

8

15

в) если

7

x8

, то z x

и z

x

;

f

x

x 7

x

x 7

7

x8

1

7

1

7

15

8

x7

x

г) если

f

x

, то z x

x 8

и

z

x

x 8

8

8 .

8

x7

ОД4. Найдите производную функции z x

1

, зная производную f

x для

f

x

функции f

x и применив правило дифференцирования

1

f

x

:

f

x

f 2

x

а)

f

x

e x ;

б)

f

x

5x ;

в)

f

x

ln x ;

г)

f

x

log

x ;

5

д)

f

x

sin x ;

е)

f

x

cos x ;

ж)

f

x

arcsin x ;

з)

f

x

arctg x .

Таким же образом найдите производные для функций задания ОД3 и сравните с уже известными результатами.

Пример 4. Пусть даны функции

5x ;

а) f x

б) f

x

log x ;

в)

f x

x ;

5

а) если

f

x

5x , то f

x

5x ln 5 , при этом z x

1

и

5x

1

5x ln 5

ln 5

;

5x

2

52 x

5x

б) если

f

x

log5 x , то

f

x

1

, при этом

z x

1

и

log5 x

x ln 5

1

;

log5 x

x ln 5

log5 x 2

x ln 5

log52 x

1

в) если

f

x

x , то

f

x

, при этом z x

и

2 x

x

1

.

2

2x

x

2

x

59

Заметим, что		1			1		x		1	x	ln		1		1				ln 5			ln 5			, что совпадает с
Заметим, что		5x		5				5			ln		5			5x			ln 5				5x		, что совпадает с
		5x		5				5					5			5x							5x
полученной выше производной. Также
	1					1		1			1	1				1		3			1
	1			x 2				1		x 2		1				1	x	2			1			.
								2						2				2

			x																	2x x

Проще и надёжнее искать производные от степенной функции, а не от дроби.

ОД5. Найдите производную функции z x

ln f

x

, если

ln f x

f

x

:

f

x

а)

f

x

sin x ;

б)

f

x

3x 1;

в)

f

x

x 2

1 ;

г)

f

x

ln x ;

д)

f

x

cos x ;

е)

f

x

5x ;

ж)

f

x

arcsin x ;

з)

f

x

arctg x .

Пример 5. Воспользуемся указанным выше правилом:

а) пусть

f

x

sin x , тогда ln sin x

sin x

cos x

ctg x ;

sin x

x

1

б) пусть

f

x

x , тогда

ln x

x

;

2x

x

2 x

в) пусть

f

x

4 x , тогда

ln 4x

4x

1

4x

1

4x

ln 4

ln 4 .

4x

Заметьте, что по свойствам логарифма и по свойствам производной также будет

1

ln x

1

и ln 4x

x ln 4

x ln 4 ln 4 .

ln x

2

x

2x

ОД6. Найдите производную функции z x

e f x

по правилу

e f x

f x e f x :

x 2

а)

f

x

sin x ;

б)

f

x

3x

1;

в)

f

x

1 ;

г)

f

x

x ;

1

д)

f

x

cos x ;

е)

f

x

3 x ;

ж)

f

x

;

з)

f

x

tg x .

x

Пример 6. По правилу дифференцирования показательной функции: а) пусть f x 6x3 5x 2 , тогда

e6 x3 5 x2

6x3 5x2 e6 x3 5 x2

18x2 10x e6 x3 5x2 ;

60

1

4

б) пусть

f

x

5

x

, тогда e5

x

5 x

e5

x

x 5

e5

x

5

e5

x ;

5

в) пусть f x

sin x , тогда

esin x

sin x

esin x

cos x esin x .

ОД7. Применяя свойство логарифма log x p

p log x и правило

pf

x

pf

x ,

где p – любое число, продифференцируйте функцию z x

ln f

x

:

x 2 ;

x3 ;

а) f x

1 x ;

б) f x

в) f x

г) f x

x ;

x5 ;

5 x3 ;

1 7 x6 .

д) f x

3 x ;

е) f x

ж) f x

з) f x

Пример 7. По правилу дифференцирования логарифма некоторой функции

а) если

f

x

x4 , то z x

ln x4

4 ln x , поэтому z x

4 ln x

4

1

;

x

1

б) если

f

x

4

x , то z x

ln 4

x

ln

x 4

ln x , и z

x

ln x

;

4

x

1

9

в) если

, то z x

ln x , поэтому

f

x

ln

ln x

4

x9

4

x9

4

z

x

9

ln x

9

1

.

4

x

ОД8. Представив функции

z x

как квадраты,

т.е. считая,

что

z x

f

x

2 ,

где

f

x

– некоторая более простая функция,

найдите производные функций

z x

по правилу дифференцирования

f 2 x

2 f

x

f

x :

а)

z x

3x

1 2 ;

б)

z x

sin2 x ;

в)

z x

3x3

1 2 ;

г)

z x

cos2 x ;

д)

z x

ln2 x ;

е)

z x

lg2 x ;

ж) z x

arcsin2 x ;

з)

z x

arctg2 x .

Пример 8. По правилу дифференцирования квадрата некоторой функции

а) если z x

7x

6 2 , то z

x

2 7x

6

7x

6

2 7x

6

7

14 7x

6 ;

б) если z x

7x3

6 2 , то

z x

2 7x3

6 7x3

6

2 7x3

6 21x2

42x2 7x3

6 ;

в) если z x

log2 x , то z

x

2 log x log

x

2 log x

1

2 log6 x

.

6

x ln 6

61

ОД9.

Представив функции

z x

как

z x

f x p , где

f

x

– более простая

функция,

а

p –

некоторый показатель степени (число),

найдите производные

функций z x

по правилу дифференцирования

f p x

pf p 1

x

f

x :

а)

z x

5x

1 10 ;

б)

z x

2x3

1 4 ;

в)

z x

sin4 x ;

г)

z x

cos6 x ;

д)

z x

ln5 x ;

е)

z x

lg7 x ;

ж)

z x

arcsin5

x ;

з)

z x

arctg6 x ;

и)

z x

1

;

к)

z x

1

;

л)

z x

1

;

м)

z x

1

.

2x

1 3

cos2 x

sin3 x

x3 1 4

Пример 9. Найдём производные функций, возведённых в степень:

а) пусть z x

4x5

x 8 , тогда

z x

8 4x5

x 7 4x5

x

8 4x5

x 7 20x4

1 ;

б) пусть z x

1

, или z x

cos x

4 , тогда

cos4

x

z

x

4 cos x

5 cos x

4

1

sin x

4 sin x

;

cos5 x

в) если z x

log6

x , или

z x

log

x 6

, то

7

5

z

x

6 log x

5 log

x

6 log5 x

1

6 log

7 x

.

7

x ln 7

ОД10. Задание то же, что в ОД9, но число p – дробное:

4

sin5 x ;

а)

z x

5x

1 ;

б)

z x

3x

1 ;

в)

z x

г)

z x

3 cos4 x ;

д)

z x

7

ln2 x ;

е)

z x

lg7 x ;

ж)

z x

1

;

з)

z x

1

;

и)

z x

1

;

sin x

3

arctg x

2x

1 3

к)

z x

1

;

л)

z x

4

1

;

м) z x

1

.

3

x

sin

3

x

cos

x

3

1

Пример 10. Продифференцируем функции,

а) пусть z x 63x3 2x , т.е. z x3x3

стоящие под знаком корня:

1

2x 6 , тогда

	1			5			1			5			9x	2	2
z x		3x3	2x 6		3x3	2x		3x3	2x 6		9x2	2				;
	6						6
													6 6 3x3		2x 5

62

Материал: 5437

Смотрите также: