Документ: 5437, страницы 16-20 | База студенческих работ

4)а) h x5x

в) h x8x

2

3

6

3

2

4x

5x

3	7 2 ;	б) h x	3x2	5 4 2x3	7 5 ;
3	2 6 ;	г) h x	4x2	3 8 5x4	2 3 ;

5)

а) g x

2x 3

;

б) g x

2

x

3

;

в) g x

2

x

3

;

5x

6

5

x

6

5

x

6

4

24

г) g x

2 x 3

;

д) g x

2x 3

;

е) g x

x 3

;

3

53

5x 6

x 6

x2

6)

а)

f

x

e

sin

x ;

б)

f

x

e

x

sin x2 ;

в)

f

x

e

sin x ;

г)

f

x

e

x

sin2 x ;

д)

f

x

e

x

cos x2 ;

е)

f

x

e x cos2 x .

ОД13. Найдите производные функций y x

:

1) y x3

x2

x 1;

2) y 2x3 3x2

7x ;

3) y

0,2x3

x2

7x

;

3

5

4) y

x

3 x

4 x ;

5) y 2 x 53 x 34 x ;

6) y

x

3 x

4 x

;

2

4

5

7) y

1 1

1

;

8) y

2 3

7

;

9) y

1

3

7

;

x x2

x3

x x2

x3

5x 7x2

8x3

10)

y

2sin x

3cos x ;

11)

y

sin5x

cos6x ;

12)

y

2sin5x 3cos6x ;

13)

y

3sin2

x

cos3 x ;

14)

y

3sin x4

cos x5 ;

15)

y

3sin2 x4

cos3 x5 ;

4

16)

y

5x

3

2 3x ;

17)

y

5x2

3

4 2

3x3 ;

18)

y

5x2 3 4 2

3x3 ;

19)

y

2 arctg x3 ;

20)

y

2 arctg4

x3 ;

21)

y

2x2 arctg x3

;

22)

y

2x

2

3 e

5 x

;

23)

y

2x

2

3 e

5x

;

24)

y

2x

2

3 e

5sin x

;

e 2sin3x ;

25)

y

sin x e x ;

26)

y

27)

y

e 2 sin3x ;

28)

y

ln 2x3

5 ;

29)

y

ln3 2x4

5 ;

30)

y

ln 2 cos 2x3

5 .

68

§ 7. Логарифмическое дифференцирование

Логарифмическое дифференцирование обычно применяют, чтобы найти про-

изводные от степенно-показательных функций f								x g x h x или от произведе-
ний f n1	f n2	f nk	и дробей	f1n1	f2n2	fknk	, где n , , m		– действительные числа.
				g m1 g m2		g mr
1	2	k					1	r
				1	2	r

В этих случаях можно найти логарифм функции, упростить его по основным свойствам логарифмов, продифференцировать то, что получилось, и умножить на первоначальную функцию.

Правило дифференцирования y y

ln y

следует из формулы

ln y

y

.

y

Пример 1. y

5x

2 3x

7 ,

y

? Применяя свойство ln Ap

p ln A , находим

ln y ln 5x 2 3x 7

3x 7 ln 5x 2 ,

тогда

ln y

3x 7 ln 5x 2

3x 7 ln 5x 2 ,

т.е. ln y

3ln 5x

2

3x

7

5

. Поэтому

5x

2

y

5x 2 3x 7 3ln 5x 2

3x 7

5

,

5x

2

или, после раскрытия скобок,

y

3 5x

2 3x 7 ln 5x

2

5 3x

7 5x

2 3x 8 .

Пример 2. y

x ,

? Здесь ln y

x

ln sin x , тогда

sin x

y

ln sin x

x

1

ln y

x

ln sin x

x ln sin x

ln sin x

x ctg x ,

2

x

1

x

поэтому y

sin x

ln sin x

x ctg x .

2

x

2 5

Пример 3. Найдём производную функции f

x

3x2

5x

7 sin3 4x .

Логарифмируем:

ln 3x2

2 5

ln sin3 4x ,

ln f

x

ln

5x

7

выносим степень:

ln f

x

5ln 3x2

2

1

ln 5x

7

3ln sin 4x

,

2

69

дифференцируем:

ln f x	5	3x2	2		1		5x	7	3	sin 4x				5		6x		1		5	3	4 cos4x	.
ln f x	5	3x2	2	2			5x	7	3	sin 4x				5	3x2		2 2			5x 7	3	sin 4x	.
		3x2	2	2			5x	7		sin 4x					3x2		2 2			5x 7		sin 4x
Тогда
						5						30x			5
	f	x	3x2	2		5	5x	7 sin3 4x				30x			5				12 ctg 4x .

											3x2		2		10x		14
											3x2		2		10x		14
Пример 4.		y	2x 3			4x	7	5x 8		, y			?
Пример 4.		y	6x			1	10x	9		, y			?
			6x			1	10x	9

Можно раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и продифференцировать частное, но лучше найти

ln y ln 2x 3 ln 4x 7 ln 5x 8 ln 6x 1 ln 10x 9

и затем ln y	2	4	5		6		10	.

	2x 3	4x 7		5x 8		6x 1	10x 9

Полученную сумму умножим на исходную функцию. Раскрывать скобки нет смысла – наоборот, в таких задачах желательно выносить общий множитель. Итак,

y

2x 3 4x 7 5x 8

2

4

5

6

10

.

6x 1 10x 9

2x 3

4x 7

5x 8

6x 1

10x 9

2x2

3 4 4x3

2

Пример 5.

y

7

5x 2

,

y

?

6x 1 10 7

8x

9 3

Раскрыть скобки невозможно из-за корней, и непосредственное дифференцирование весьма громоздко. Поэтому ищем

ln y ln 2x2 3 4	ln 4x3 7 2
		ln 5x 2 ln 6x 1 10 ln 7 8x 9 3 ,

затем по свойству логарифма выносим степени:

	ln y 4 ln 2x2				3 2 ln 4x3 7											1	ln 5x 2 10ln 6x 1									3		ln 8x 9 ,
	ln y 4 ln 2x2				3 2 ln 4x3 7										2		ln 5x 2 10ln 6x 1								7			ln 8x 9 ,
															2										7
и тогда
						4x						12x2						1	5			6			3				8		.
		ln y	4								2											10
		ln y	4		2x2			3			2	4x3		7 2 5x 2								10		6x 1	7		8x 9
Окончательно
		2x2	3 4 4x3					7 2												24x2
y		2x2	3 4 4x3					7 2		5x		2		16x						24x2			2,5		60					24 / 7		.
													2x		2			3 4x			3	7 5x 2 6x 1 8x 9
		6x 1		10	7		8x		9		3

70

ЛД1. Найдите производные функций

1)

f1

x

2x

1 4 x 3 ,

f2

x

5x

1 2 x 6 ,

f3

x

5x

9 6 3x ,

f4

x

0,5x

7 2 x ;

2)

g

x

4x2

3 4 x 3 , g

2

x

5

x2

2 x

6 ,

g

3

x

4x2

9x 3x , g

4

x

0,5x3 2 x ;

1

3)

h

x

3x

2 sin x ,

h

x

5x

1

x ,

h

x

5

2x ln x , h

x

2x

4 cos x ;

1

2

3

4

x ,

ln x 6

x ;

4)

s

x

sin x

s

x

xsin x ,

s

x

cos x

x , s

x

1

2

3

4

5)

r

x

xarcsin x ,

r x

xtg x ,

r

x

arcsin x tg x ,

r x

tg x arcsin x .

1

2

3

4

ЛД2. Найдите производные функций при помощи логарифмического дифференцирования. Укажите, в каких точках производная не определена:

1)

f1 x

3x 2 5x 1

, f2 x

4x 2 3x 1

, f3

x

3x 2 5x 1

;

7x 8 8x 7

6x 3 4x 7

6x 3 4x 7 2x 3

3x 2 5 5x 1 4

4x 2 6 3x 1 2

3x 2 8 5x 1 7

2)

g1 x

, g2 x

, g3 x

;

6x 3 8 4x 7 3

7x 8 4 8x 7 10

6x 3 4 4x 7 7

3) h1 x

4x 3 5x 1 7

7x 1 8x 3

9

4x 3 5x 1

7

.

, h2 x

, g3

x

3 6x 7 5 8x 5 8

4 7x 6 6 3x 2 5

3 6x 7 5 8x 5 8

ЛД3. Найдите производные при помощи логарифмирования:

1) а) f x

3x 2 5x 1 6x 4 7 x ;

б) f x

3x2

2 5x 1 6x 4 7 x2 ;

2)

а) g x

6x

1 cos x sin x x

3 ;

б) g x

sin x cos 2 x

1

sin2x cos 3x ;

sin x x2 cos x

sin2x 3x2 2 cos x 1

3)

а) h x

xcos x

x ;

б) h x

3

2x cos x

x .

Пример 6. Пусть

f

x

xsin x

x2

3

x , тогда

3 x

ln f

x

ln xsin x

ln

x2

sin x ln x

x ln x2

3 ,

соответственно

ln f x

sin x

ln x

x ln x2

3

1

ln x2

2x

,

cos x

ln x

sin x

3

x

x2

x

2

x

3

и тогда

ln x2

sin x

3

2x

x

.

f x

xsin x

x2

3 x

cos x

ln x

x2

x

2

x

3

71

§ 8. Правило Лопиталя – Бернулли

Правило позволяет раскрывать неопределённости	0	и	, а также, после

	0
	0
приведения к указанным дробям, неопределённости 0		,	, 00 и 1 .

Оказывается, если в некоторой точке две функции равны 0, то предел их от-

ношения такой же, как у отношения производных: lim	f x	0	lim	f	x	.

x a	g x	0	x a	g	x

Подобное свойство выполнено, если функции в точке a становятся бесконеч-

но большими: lim	f x	lim	f	x	.
но большими: lim		lim			.
x a	g x	x a	g	x

Кроме того, оба свойства справедливы, когда x , а не к точке a.

Пример 1. Найдём lim

x2

4

0

. Поскольку

x2

4

2x

и x3

8

3x2 , то

x3

8

0

x 2

lim

x2

4

lim

2x

2 2

4

1

.

x3

8

3x2

3 22

3 4 3

x 2

Разумеется, можно было вначале сократить

2x

2

и потом подставить 2.

3x2

3x

Пример 2. lim

sin 2x

0

lim

sin 2x

lim

2 cos2x

2 cos2

2

1

2

.

sin 5x

0

5 cos5x

5 cos5

5

1

5

x

sin 5x

x

Пример 3. lim

lg x

lim

lg x

lim

1 / x

lim

1

(или lg e )

x 0

ln x

x 0

ln x

x 0

ln10 1 / x

x 0 ln10

ln10

(если забыть, что при любых a, b, x 0 и

a, b

1 всегда

loga

x

logb a ).

logb x

Пример 4. Правило Лопиталя – Бернулли можно применять несколько раз:

lim

e x

lim

e x

lim

e x

lim

e x

lim

ex

e

.

x

2

2x

2

x

2

x

2x

x

(тем самым lim

a x

при любых a

1 и n 0 , даже при a

1,001 и n 1000).

n

xx

72

Материал: 5437

Смотрите также: