Материал: 5437

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Замечание 2. В строгой математической литературе нередко «выпуклая функция» – это функция, график которой обращён «выпуклостью вниз» (например, парабола). Соответственно функции типа квадратного корня оказываются «вогнутыми». Это противоположно студенческой (и преподавательской) традиции, поэтому при обращении к старым учебникам необходимо внимательно следить, о каких функциях речь.

ИФ1. Постройте графики квадратичных функций по стандартной схеме исследования. Сравните с тем, что получается при построении по школьной схеме:

1) f	1	x	x2 4x; f	2	x	x2 8x; f	3	x	2x2 4x; f	4	x	6x x2 ; f	5	x 6x 3x2	;
	1			2			3			4			5

2)g1 x x2 4x 5; g2 x x2 8x 12; g3 x 8 x2 2x; g4 x 6x x2 10 ;

Примечание: Школьная (элементарная) схема – это поиск вершины парабо-

лы, точек пересечений с осями координат и определение направления ветвей.

ИФ2. Исследуйте функции и постройте графики многочленов:

12x;

12x x3 ;

6x2

;

3x2

x3 ;

g x

3x2

9x;

6x2

9x;

x 24x 3x2

x3 ;

3) h x x4

4x3 ;

h x 4x3

x4 ;

h x 3x4

4x3;

h x 3x4 24x2 ;

s x

x2 x 4 ;

x x2

4 ;

s x

x3 x 4 ;

x2 x2

4 .

ИФ3. Исследуйте функции, упростив производные, и постройте графики:

f1 x

x 3 x 2 x 1 ;

f2 x

x 2 x 2 x 4 ; f3 x

x 4 x 2 x 4 ;

g x

x 3 2 x 3 2 ;

x 2 2 x 4 2 ;

x 1 2 x 3 2 .

Пояснение: Производную в ИФ3 удобно найти, не раскрывая скобок:

x 4

x 6 x 2 x 4

x 2 x 4

x 6 x 4

x 6 x 2 .

Здесь применена формула

fgh

f gh

fg h

fgh .

Для поиска корней 1-й производной, а затем для поиска 2-й производной

скобки лучше раскрыть:

x 2 x 4

x 6 x 4

x 6 x 2

2x 8

2x 24 x2 8x 12 3x2

8x 20.

ИФ4. Исследуйте дробно-рациональные функции и постройте их графики:

1) f1 x	x	2	;
	x	3

2)g1 xxx2 4 ;

3)s1 xx21 1

4)r1 xx21 1 ;

5)s1 xx2 x 1

6)r1 xx2x 1 ;

7) q1

;

8) u1

;

9) h1

;

x 1

10)

;

11)

;

12)

;

1 2

13)

;

1 2

f2 x

x 2

;

x 2

;

f4 x

x 2

;

g2 x

;

g4 x

;

s2 x

;

s4 x

;

0,36

;

0,36

;

0,49

q2 x

;

0,25

u2 x

;

0,25

h2 x

;

h4 x

;

y3 x

;

y4 x

;

0,25

;

z3 x

;

0,25

;

t3 x

;

t4 x

;

p2 x

;

p3 x

;

x 2

ИФ 5. Постройте графики функций

x 2 e x ;

x 2 ex ;

g x

2x 3 e x ; g

3x 2 e

2 x ; g

2x 1 e2 x ; g

2x 6 e 2 x ;

3) h x

x ln x;

h x

ln x

;

h x

;

h x

x2 ln x .

ln x

Замечание о поиске 2-х производных

Поиск 2-й производной от дробной функции можно упростить, разложив дробь на целую часть и правильную дробь (например, разделив уголком или методом неопределённых коэффициентов).

Пример 3.

? Разложим и учтём, что x2

a 2

x a :

62 62

x 6

тогда

6 2

6 3

Очевидно,

0 при x

6 и y

0 при x

6 .

Пример 4.

? Применим формулу x3

ax a2 :

тогда

x2 2x

x 2 2

2 3

Для выяснения знака y

замечаем, что y

не существует при x

2 , а также

2 0

x 2 3

8 x 2

2 x 0 ,

2 3

тем самым ось надо разбить на интервалы точками x1

0 и x2

2 . Окажется, что

y 0 при 0

2 и y

0 при x 0 и при x

2 (проверьте).

Пример 5.

? В числителе нужен фрагмент, делящийся на

знаменатель:

5x 5x x3

x x2

x 5

5 x2

Поиск

проще, чем

. Вначале находим

1 x2

5 x 2x

5 x2

5 2

затем, вынося как можно больше множителей за скобки,

5 x2

2x x2 5 2

5 x2 2 x2

5 2x

5 2 5 x2 ,

x2 5 2

5 4

откуда, с учётом коэффициента –5 и того, что x

0 ,

y 0 5

15 x2

x x

15 x

x2 5 3

Знаменатель	положителен, а числитель даёт 3 точки, и знак чередуется, начи-

ная с y 0 при	x	15 .

Также можно упростить дифференцирование, если дробь правильная, но содержит квадрат или куб скобки, и т.п.

Пример 6.

? . Учитывая, что

x 3 3

x 3

x 3 1 3 x 3 2 ,

x 3 2

находим y

1 x

6 x 3 3

и затем

2 x 3 3

18 x 3 4

2 x 3 4 x 3 9 2

x 6

Получается, что y

0 при x

6 и y

0 при x

6 , причём x 3.

Пример 7.

? Разложим дробь так:

4 4

x 2 x 2

x 2

Теперь можно заметить, что x

4 , и поэтому

x 2 2

x 2

x 2 2

Тем самым

4 x

, и тогда

2 3

а) y

1 x 2 2

8 x 2 3

12 x 2 4 ;

б) y

2 x 2 3

24 x 2 4

48 x 2 5 .

Для поиска корней вынесем за скобки 2 x

5 :

2 x 2 5 x 2 2

12 x 2 24

2 x 2 5 x2

8x 4 ,

откуда x 2 – точка разрыва, а 4 12 и 4 12 – корни числителя.

Источник: https://studfile.net/preview/16711097/

Смотрите также:


_Rezonans_napryazheniy
_Ugolov_Process_05
«Характеристика объектов коммерческой деятельности в торговле»
(никита)KUL_T_KL_EKZAMEN
[1 курс] БЖД
[ТЕСТЫ] по гистологии IMK №2
# Вопрос Ответ
01
04