Документ: 5437, страницы 1-5 | База студенческих работ

III. ПРОИЗВОДНАЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

§ 6. Основы дифференцирования функций

Производная от функции f x – это предел lim								f x x	f x	, или, что то
Производная от функции f x – это предел lim								x		, или, что то
							x 0	x
							x 0
же самое, lim	f x1	f	x	. Производная показывает, во сколько раз (вблизи точ-
же самое, lim	x1	x		. Производная показывает, во сколько раз (вблизи точ-
x1 x	x1	x
x1 x
ки x) функция меняется быстрее, чем аргумент.
Значение производной в точке x							x0 – это число, обозначаемое			f x0 . Про-
изводная в общем виде – это новая функция, обозначаемая как									f x	. Возможны
также обозначения		df	или		dy	, если y	f x .
также обозначения			или			, если y	f x .
		dx			dx

Замечание 1. Значение производной зависит от единиц измерения аргумента и функции. Например, если цену измерять в рублях, скорость изменения спроса будет в 100 раз выше, чем при измерении цены в копейках. Этим производная отличается от таких понятий, как эластичность, темп прироста, относитель-

ный прирост, и некоторых других, применяемых в экономических приложениях.

Производные от основных элементарных функций

1)

xn

nxn 1 ;

2)

a x

a x ln a ;

3)

log x

1

;

a

x ln a

4)

sin x

cos x ;

5)

cos x

sin x ;

6)

arcsin x

1

;

1

x2

7)

arctg x

1

.

x2

1

Во 2-й и 3-й формулах a

0 и a

1. Полезно запомнить частные случаи:

x2

x3

3x2

1

2x,

,

x

,

3 x

;

2 x

33 x2

ex

ex ,

ln x

1

(поскольку ln e 1).

x

Производные других функций получают на основе правил дифференцирования.

Основные правила дифференцирования (в сокращённой записи):

1)

f

g

f

g ;

2)

kf

k f

для любого k

; ;

3)

f

g

f g

f g ;

4)

f

f g

.

g

g 2

53

Производная сложной функции. Если даны функции y

f

x

и z

g y , то

производная

сложной

функции

z x , определённой

как

z

g

f

x ,

обладает

свойством z

x g

y

f

x и находится обычно по этой формуле.

На основе этого правила получается

Обобщённая таблица основных производных

1)

un

nun 1u ;

2)

au

au ln a

u ;

3)

log

u

1

u ;

a

u ln a

4)

sinu

cosu u ;

5)

cosu

sin u u ;

6)

arcsinu

1

u ;

1

u2

7)

arctg u

1

u ,

u2

1

а также частные случаи, аналогичные приведённым выше.

Как следствия из основных свойств получаются производные

tg u

1

u ,

ctgu

1

u ;

cos2 u

sin2 u

arc cos x

1

u ,

arcctg u

1

u .

u2

1

u2

Правила дифференцирования отражают объективные свойства функций и помогают найти производную наиболее простым образом. Любая попытка «ис-

править правило» (например, решить, что fg								f g	) приведёт к противоречию.
ОД1.		Даны функция f x , точка x0				и приращение аргумента x . Найдите
f x0	и	f	x0	x	– значения функции в точках x0				и x0 x , приращение функ-
ции	f	f	x0	x	f x0 и отношение	f	.

						x

Замечание 2. При решении примеров с чётными номерами (2, 4, 6, 8 и 10) воспользуйтесь результатами примеров 1, 3, 5, 7, 9 соответственно.

1) f x x 2 ;

а)

x0

2,

x

0,1 ;

б)

x0

2,

x

0,2 ;

в)

x0

1,

x

0,1 ;

г)

x0

1,

x

0,1;

д)

x0

3,

x

0,05;

е)

x0

3,

x

0,05 ;

2) f xx12 ;

а)

x0

2,

x

0,1 ;

б)

x0

2,

x

0,2 ;

в)

x0

1,

x

0,1 ;

г)

x0

1,

x

0,1;

д)

x0

3,

x

0,05;

е)

x0

3,

x

0,05 ;

54

3)

f

x

x3 ;

а)

x0

1,

x

0,1 ;

б)

x0

1,

x

0,1;

в)

x0

2,

x

0,1 ;

г)

x0

2,

x

0,2 ;

д)

x0

1,

x

0,05 ;

е)

x0

1,

x

0,05 ;

4)

f

x

1

;

x3

а)

x0

1,

x

0,1 ;

б)

x0

1,

x

0,1;

в)

x0

2,

x

0,1 ;

г)

x0

2,

x

0,2 ;

д)

x0

1,

x

0,05 ;

е)

x0

1,

x

0,05 ;

5)

f

x

x ;

а)

x0

4,

x

0,1 ;

б)

x0

4,

x

0,2 ;

в)

x0

1,

x

0,1 ;

г)

x0

1,

x

0,1;

д)

x0

9,

x

0,2 ;

е)

x0

9,

x

0,2 ;

6)

f

x

1

;

x

а)

x0

4,

x

0,1 ;

б)

x0

4,

x

0,2 ;

в)

x0

1,

x

0,1 ;

г)

x0

1,

x

0,1;

д)

x0

9,

x

0,2 ;

е)

x0

9,

x

0,2 ;

7)

f

x

1

;

x

а)

x0

1,

x

0,2 ;

б)

x0

1,

x

0,2 ;

в)

x0

0,5,

x

0,1;

г)

x0

0,5,

x

0,1;

д)

x0

1,

x

0,1;

е)

x0

1,

x

0,1 ;

8)

f

x

1

;

x2

а)

x0

1,

x

0,2 ;

б)

x0

1,

x

0,2 ;

в)

x0

0,5,

x

0,1;

г)

x0

0,5,

x

0,1;

д)

x0

1,

x

0,1;

е)

x0

1,

x

0,1 ;

9)

f

x

2

cos x ;

а) x0

0, x

6 ;

б) x0

0, x

6 ;

в) x0

4 , x

6 ;

г) x0

4 , x

6 ;

д) x0

2 , x

4 ;

е) x0

3 4 , x

4 ;

10)

f

x

1

;

2

cos x

а) x0

0, x

6 ;

б) x0

0, x

6 ;

в) x0

4 , x

6 ;

г) x0

4 , x

6 ;

д) x0

2 , x

4 ;

е) x0

3 4 , x

4 .

Замечание 3. В примерах 9 и 10 число 2 добавлено во избежание деления

на 0 в примере 10. На величину

f

в примере 9 оно не влияет.

55

Пример 1а. Пусть										f x		x 2 , x0	4,	x	0,3 , тогда
а)	f	x	0		f	4		42		16 ;				б)	x	0	x	4		0,3	3,7 ;
			0													0
в)	f	x			x		f 3,7			3,72		13,69 ;		г)		f	f	3,7	f	4	13,69 16 2,31;
			0
д)		f		2,31				7,7 (значение точное).

		x		0,3
		x		0,3
Пусть теперь						f x			1	, но по-прежнему x0						4,	x		0,3 , тогда
Пусть теперь						f x			x2	, но по-прежнему x0						4,	x		0,3 , тогда
									x2
а)	f	4		1			1	0,062 5;					б)	x0		x	4		0,3	3,7 ;

				42		16
				42		16
в)	f	3,7				1		1			0,0730;		г)	f		0,0730			0,0625		0,0105;

				3,72
				3,72				13,69
д)		f		0,0105				0,035

		x		0,3
		x		0,3

(обратите внимание на применение знаков точного и приближённого равенства).

Пример 1б. Пусть

f x

1

, x0 2,

x

0,2 , тогда

x

а)

f

x0

f 2

1

0,5 ;

б)

x0

x

2

0,2

2,2 ;

2

в)

f

2,2

1

0,4545 ;

г)

f

2,2

f 2

0,4545 0,5 0,0455 ;

2,2

д)

f

0,0455

0,2275 .

x

0,2

Пусть теперь f x

1

при тех же x0

2 и

x

0,2 :

x2

а)

f

2

0,5 2

0,25;

б)

x0

x 2 0,2 2,2 ;

в)

f

2,2

0,4545 2

0,2066 ;

г)

f

0,2066

0,25

0,0434 ;

д)

f

0,0434

0,217.

x

0,2

ОД2. Найдите производные от суммы, разности, произведения и частного

функций

f

x и

g x ,

а также

производные

от их

линейных

комбинаций

z1

x

3 f

x

5g x

и z2

x

0,5 f x

2g x :

1)

f

x

x 2 , при этом

а)

g x

x3 ;

б)

g x

x 4 ;

в)

g x

cos x ;

г)

g x

sin x ;

д)

g x

ln x ;

е)

g x

ex ;

ж)

g x

2 x ;

з)

g x

arcsin x ;

56

2)

f

x cos x , при этом

а)

g x

10 ;

б)

g x

x3 ;

в)

g x

ex ;

г)

g x

sin x ;

0,5x ;

д)

g x

ln x ;

е)

g x

ж)

g x

x ;

з)

g x

arctg x ;

3)

f

x

x , при этом

x 4 ;

а)

g x

10 ;

б)

g x

в)

g x

3 x ;

г)

g x

cos x ;

д)

g x

log3 x ;

е)

g x

tg x ;

ж)

g x

ctg x ;

з)

g x

1 x .

Пример 2. Пусть f

x

x 2 и даны функции

а) g x

x5 ;

б)

g x

cos x ;

в)

g x ln x .

Найдём f

x

x 2

2x – эта производная понадобится во всех трёх случаях;

а) для пары

f x

x 2

и

g x

x5

дополнительно находим

g x

x5

5x4 ,

тогда

x2

x5

2x 5x4 ;

x2

x5

2x 5x4 ;

x2 x5

2x x5

x2 5x4

2x6

5x6

7x6 ;

x2

2x x5

x2 5x4

2x6

5x6

3

;

x5

x5 2

x10

x4

3x2

5x5

3 2x 5 5x4

6x 25x4 ;

0,5x2

2x5

0,5

2x

2

5x4

x

10x4 .

Обратите внимание,

что

x2

x5

x7

7x6

и

x2

x 3

3x 4

(по таблице

x5

производных). Полученные выше результаты совпадают с табличными;

б) для пары

f x

x 2 и g x

cos x находим g

x cos x

sin x , тогда

x2

cos x

2x

sin x ;

x2

cos x

2x

sin x

2x

sin x ;

x2

cos x

2x

cos x

x2

sin x

2x cos x

x2 sin x ;

x2

2x cos x x2

sin x

2x cos x

x2 sin x

;

cos x

cos x 2

cos2 x

3x2

5 cos x

3

2x

5

sin x

6x

5sin x ;

0,5x2

2 cos x

0,5

2x

2

sin x

x

2 sin x ;

57

Материал: 5437

Смотрите также: