Материал: 5358
5.3.Оценка текущей стоимости потока наличности
Впредыдущем разделе была выведена формула текущей стоимости в начальный момент времени t0. Поставим более общую задачу: найти текущую стоимость на любой момент t и найти простую формулу,
позволяющую произвести перерасчет текущей стоимости с момента t1 на момент t 2 .
Рассмотрим моменты времени t1 и t2, причём не обязательно t2 больше t1.
Определение. Стоимостью А на момент времени t1 суммы С, выпла-
чиваемой в момент времени t2, называется: а) накопление С на срок от t2 до t1 при t1 > t2;
б)дисконтированная стоимость на момент t1 суммы С, выплачиваемой в момент времени t2, если t2 > t1.
В обоих случаях эта величина А находится по формуле
|
t2 |
|
А С exp |
(t)dt . |
(5.7) |
|
t1 |
|
Воспользуемся теперь свойствами интеграла и показательной функции:
t2
exp (t)dt
t1
t1
exp (t)dt
0
t2 |
|
t1 |
|
t2 |
exp |
(t)dt |
(t)dt |
exp |
(t)dt ; |
0 |
|
0 |
|
0 |
V (t2 ) .
V (t1 )
Тогда формула (5.7) примет вид: |
|
|
|
|
A C |
V (t |
2 ) |
. |
(5.8) |
V (t1 ) |
|
|||
|
|
|
||
Найдём текущую стоимость на момент t(1) заданного потока наличности
(заданы С и норма (t)).
Для этого достаточно воспользоваться формулой (5.6) и формулой (5.8),
где t1=t(1):
42
|
A(t (1) ) |
|
V (t j ) |
C |
|
V (t) |
(t)dt. |
|
|
(5.9) |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|||
|
j 1 V (t (1) ) |
V (t (1) ) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В формуле |
(5.9) интегрирование |
ведётся от – |
до + , |
так |
как |
|||||
учитываются все платежи при t < t(1) и при t > t(1). |
|
|
|
|||||||
Рассмотрим |
теперь |
другой фиксированный момент |
времени |
t(2) |
и |
|||||
найдём текущую стоимость данного потока на момент t(2). По аналогии с формулой (5.9) будем иметь
A(t (2) ) |
1 |
V (t j ) C j V (t) (t)dt . |
|
(5.10) |
||
|
|
|
|
|||
V (t (2) ) |
|
|
||||
|
j 1 |
|
|
|
||
Сравнивая формулы (5.9) и (5.10), получим |
|
|
||||
|
A(t (1) ) V (t (1) ) |
A(t (2) ) V (t (2) ). |
|
(5.11) |
||
Равенство (5.11) символически можно изобразить следующим образом: |
||||||
стоимость потока наличности |
V (t1 ) |
стоимость потока наличности |
V (t2 ). |
(5.12) |
||
на момент t1 |
|
|
на момент t 2 |
|
||
|
|
|
|
|
||
Пример 5.2. Бизнесмен должен уплатить 1 000 у.д.е. 1 января 1986 г. 2
500 у.д.е. 1 января 1987 г. и 3 000 у.д.е. 1 июля 1987 г. Полагая силу процента постоянной и равной 0,06 в год, найти стоимость этих платежей на а) 1 января 1984 г., б) 1 марта 1985 г.
t
Решение. Найдём вначале V(t): V (t) exp 0,06dt e 0,06t .
0
Воспользуемся формулой (5.9), полагая t(1)= 0, т.е. за нулевую точку отсчёта взяв 1 января 1984 г.:
A(O) |
1 000 V (2) 2 500 V (3) 3 000 V (3,5) 1 000 e 0,12 |
2 500 |
e 0,18 3 000e 0,21 5 406,86 у.д.е. |
б) воспользуемся формулой (5.11), полагая t(1) = 0, t (2) |
14 |
, А(0) = 5 |
|
||
12, |
|
|
406,86:
43
A(t (2) ) 5 406,86 |
1 |
|
5406,86 |
|
1 |
|
|
|
5 798,89 у.д.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14 |
|
|
0,06 |
14 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
е |
|
|
|
|
|||
|
V ( ) |
|
|
12 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
12 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 5.3. Найти накопленную стоимость через 10 лет десяти еже-
дневных выплат в размере 1 000 у.д.е, если первая выплата производится в момент t = 0. Сила процента определяется формулой Студли с параметрами р = 0,076 961; r = 0,5; s = 0,121 890.
Решение. Найдём текущую стоимость потока на момент t = 0:
0
A(O) 1 000 
V (i).
i 0
Сделаем перерасчёт, исходя из формулы (5.11):
|
1 000 |
0 |
||
A(10) |
V (i). |
|||
|
|
|||
V (10) |
||||
|
i 0 |
|||
В случае формулы Студли величина V(t) находится из равенства (3.26):
V (t) |
2 |
(1,22) t |
1 |
|
(1,06) t . |
|
3 |
3 |
|||||
|
|
|
||||
Выполнив расчёты, получим А(10) = 22 622 у.д.е.
5.4. Процентный доход
Рассмотрим задачу, когда инвестор не накапливает капитал, но снимает проценты, оставляя начальную сумму Р неизменной. Пусть вначале инвестор желает получать доход в конце каждого единичного момента времени с фактической процентной ставкой, равной i. В этом случае процентный доход в единицу времени равен рi.
Рассмотрим более сложную ситуацию, когда инвестор вкладывает капитал Р в начальный момент t0 и желает получать проценты до момента времени t в конце каждого интервала длительностью h, где
h = |
t t0 |
, |
n – целое число. Тогда в конце j-гo интервала инвестор будет |
|
n |
||||
|
|
|
получать доход
44
j S P 
h 
ih (t0 ( j i)h), 1 
j n .
Здесь ih (t0 jh) – номинальная процентная ставка на интервале времени от
t0 + (j – 1) до t0 +jh. Сумма S процентного дохода к моменту t будет равна
n |
|
|
(5.13) |
|
S P |
hih (t0 |
jh). |
||
|
||||
j |
1 |
|
|
|
Пусть теперь нам дана сила процента |
t . В этом случае равенство |
|||
(5.13) можно записать в терминах ( t ). |
|
|||
Для этого в (5.13) достаточно перейти к пределу при h → + 0, вос-
пользоваться определением (3.1) для |
t и определением определённого |
интеграла: |
|
|
t |
S(t) P |
( y)dy. |
|
t0 |
Тогда, по определению, норма выплат процентного дохода (t) равна (t) |
|
= =S'(t) = P ( t ), а текущая стоимость на момент процентного дохода от to до t по формуле (5.5) равна
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
A(t) |
P |
|
|
( у)V ( у)dy, |
(5.14) |
|||
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
(5.15) |
|
V (t) |
exp |
( y)dy . |
|
|
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем формулу (5.14): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.16) |
A(t) P V ( y)dy |
PV ( y) |
|
t |
|
P(V (t |
0 |
) V (t)). |
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
t |
0 |
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как V(t0) = 1то формула (5.16) принимает вид |
|
||||||||
|
А(t) P 1 V (t) . . |
|
|||||||
45
Найдём текущую стоимость капитала. Так как инвестируемый капитал все время постоянен (процентный доход как бы непрерывно вытекает из банка), то его текущая стоимость А1 (t) равна А1(t) = PV(t).
Тогда сумма текущих стоимостей суммы процентов A(t) и капитала A1
(t) равна первоначальному капиталу A(t) A1 (t) P 1 V (t)
PV (t) P, что и должно быть, исходя из интуитивных представлений.
Интересно отметить, что текущая стоимость суммы процентов A(t)
стремится к Р при t , так как V(t) 0. Теоретически это означает, что
хотя инвестор никогда и не изымает капитал Р, но через достаточно большое время он его получает в виде процентов.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.На какие типы подразделяются потоки наличности?
2.Какими показателями определяется непрерывный поток наличности?
3.Как определяется современная стоимость для дискретных и непрерывных потоков наличности?
4.Каким образом осуществляется пересчёт текущей стоимости потока наличности с одного момента времени на другой?
5.Каким образом вычисляется процентный доход как непрерывный поток наличности, а также его современная стоимость?
6.РЕНТЫ
6.1.Понятие ренты.
6.2.Простая рента пренумерандо.
6.3.Простая рента постнумерандо.
6.4.Общая рента.
46