Материал: 5358
3.Какой вид имеют соотношения, связывающие номинальные процентные ставки и силу процента, и в чем их экономический смысл?
4.В чём смысл введения в практику силы процента,
определяемой формулой Студли?
4. УЧЁТ ИНФЛЯЦИИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИЯ
Процесс инфляции – это обесценивание денег, то есть когда за опре-
делённую совокупность товаров нужно уплатить большую сумму денег,
чем раньше, например, месяц или год назад. Инфляция – это процесс,
который в некотором смысле является обратным наращению капитала. Но как измерить и как её учесть при наращении капитала? Пусть, например, 1 литр молока стоил 12 рублей в начале прошлого года, а в начале следующего стоит 15 рублей. Цена товара возросла в 1,25 раза. Обычно рассматривают не один товар, а набор товаров и услуг, называемый
"рыночной корзиной". Если P(t) – цена рыночной корзины на момент времени t, a P b – цена рыночной корзины в базовом периоде, то величина
J p |
(t) |
P(t) |
(4.1) |
Pb |
|
||
|
|
|
указывает, во сколько раз изменилась цена, и носит название индекса цен.
Темпом инфляции за период Т называют относительное изменение индекса цен за этот период:
hT |
J p (T ) J p (O) |
|
J p (T ) |
1, |
(4.2) |
|
|
|
|
||
J p (O) |
|
J p (O) |
|
||
|
|
|
|
32
где Jp(0), JP(T) – индекс цен в начале и в конце периода. Величину ht
можно выразить через цену рыночной корзины, представив индекс
J p (0) по формуле (4.1) в виде:
J p |
(O) |
P(O) |
. |
(4.3) |
Pb |
|
|||
|
|
|
|
Подставляя (4.1) и (4.3) в (4.2), получим:
hT |
P(T ) P(O) |
|
P(T ) |
1. |
(4.4) |
P(O) |
|
P(O) |
|
||
|
|
|
|
Из формулы (4.4) следует равенство
(4.5)
которое напоминает наращение денежных сумм по схеме простых про-
центов. Аналогично Jp(T) = Jp(0)(1+hT). Индекс JP(T) является исходным для вычисления индекса в следующем периоде:
J |
p |
(2T ) |
J |
p |
(T )(1 |
h ) |
J |
p |
(O)(1 |
h )2 . |
|
|
|
|
T |
|
|
T |
Через т периодов индекс цен будет равен
J |
p |
(mT ) |
J |
p |
(O)(1 |
h )m . |
(4.6) |
|
|
|
|
T |
|
Темп инфляции за период тТ, по определению, находится из равенства
J p (mT ) |
J p (O)(1 |
hm T ) |
(4.7) |
Из равенств (4.6) и (4.7) следует, что |
|
|
|
h |
(1 h )m |
1. |
(4.8) |
m T |
T |
|
|
На основании формулы (4.8) можно найти hТ:
h |
(1 h |
)1/ m |
1. |
(4.9) |
T |
m T |
|
|
|
Из формулы (4.6) следует, что возрастание индекса цен соответствует закону наращения капитала по сложным процентам.
33
|
Предположим, что известен темп инфляции за |
1 |
часть года, то есть |
||||||||||
|
m |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
и T |
1 |
|
. Тогда годовой темп инфляции h, согласно (4.8), определяется |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
1/ m |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
h |
(1 |
h |
)m |
1, |
|
(4.10) |
||
|
|
|
|
|
|
|
1/ m |
|
|
|
|
||
|
а темп инфляции за период |
|
1 |
|
– равенством |
|
|
||||||
|
|
m |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
h |
(1 |
|
h)1/ m |
1. |
|
(4.11) |
||
|
|
|
|
|
1/ m |
|
|
|
|
|
|
|
|
Соотношения (4.10) и (4.11) являются аналогами соотношений между эквивалентными процентными ставками.
Пример 4.1. Месячный темп инфляции равен 3 %. Найти: а) годовой, б)
полугодовой; в) квартальный темп инфляции.
Решение. Согласно формуле (4.10), годовой темп инфляции равен
h (1 0,03)12 1 0,42(42%).
Аналогично по формуле (4.11) находятся полугодовой и квартальный темпы инфляции:
h |
(1 |
0,42)1/ 2 |
1 |
0,19(19%), |
1/ 2 |
|
|
|
|
h |
(1 |
0,42)1/ 4 |
1 |
0,09(9%). |
1/ 4 |
|
|
|
|
Рассмотрим денежную сумму S при t = 0 и t = Т в условиях инфляции.
Если Р(0) и Р(Т) – цены рыночной корзины при t = 0 и t= = Т, то цена при t = Т увеличилась по сравнению с ценой при t = 0 в Р(Т)/Р(0) раз,
а соответственно реальная ценность денежной суммы S- покупательная способность – уменьшилась в то же число раз, равное, согласно формуле
(4.5), величине 1 + hT.
Обычно покупательную способность С денежной суммы S соотносят с этой суммой в каждый момент времени t по формуле
34
|
S(t) |
(4.12) |
|
С(t) |
|
. |
|
J p (t) |
|
||
На основании (4.12) покупательную способность денежной суммы можно сравнить в различные моменты времени. Например, для t = 0 и t = Т
имеем
C(T ) |
|
S(t) |
1 |
|
S(t) |
||
|
|
|
|
|
|
|
. |
C(O) |
|
S(O) J p (T ) / J p (O) |
S(O)1 hT |
||||
Если денежная сумма S(t) не претерпевает процесса наращения по
какой-либо схеме, то S(T) = S(0) и, следовательно, |
С(Т ) |
|
1 |
, |
|
С(0) |
1 hT |
||||
|
|
||||
покупательная способность уменьшилась в 1 + hT раз. Пусть сумма S(0)
за время Т наращивается по закону простых процентов с процентной ставкой iT. Тогда S(T) =S(O)(1+i T ) и
С(Т ) |
1 |
iT |
. |
(4.13) |
|
|
|
|
|
||
С(0) |
1 |
hT |
|
||
Равенство (4.13) можно записать в виде
С(Т ) С(О) |
|
1 |
iT |
. |
(4.14) |
1 |
hT |
|
|||
|
|
|
|||
Формула (4.14) показывает изменение покупательной способности денег с учётом инфляции при темпе hT и наращения по простым процентам при процентной ставке iT. Введём реальную процентную ставку (или реальную доходность) rT по формуле
С(T ) |
C(T ) C(O) |
. |
(4.15) |
C(O) |
|
||
|
|
|
Величина rT определяет доходность операции инвестирования в схеме простых процентов при учёте инфляции. Из формул (4.14) и (4.15)
следует соотношение
rT |
|
1 |
iT |
1 |
|
1 |
hT |
||||
|
|
||||
35
или
r |
iT |
hT |
. |
(4.16) |
|
|
|
||
T |
1 |
hT |
|
|
|
|
|
Если период Т равен одному году, то нижний индекс у переменных опускают: h — годовой темп инфляции, i – годовая процентная ставка, rT- –
реальная годовая ставка доходности.
Формула (4.16) опровергает распространённое заблуждение, что ре-
альная ставка доходности равна разности процентной ставки и темпа инфляции.
Пример 4.2. Определить реальную годовую ставку доходности, если годовая процентная ставка 30%, а месячный темп инфляции составляет
2%.
Решение. Найдём вначале по формуле (4.10) годовой темп инфляции:
h (1 0,02)12 1 0,27(27%).
На основании формулы (4.16) можно записать r = |
|
i |
h |
или |
|||||
1 |
h |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
r |
0,3 |
0,27 |
0,02(2%). |
Обычно инвестор задаётся минимальной |
|||||
|
|
||||||||
1 |
0,27 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
приемлемой для себя реальной процентной ставкой r, называемой барьерной ставкой, и затем по формуле (4.17) находит минимальную процентную ставку i, начиная с которой имеет смысл инвестировать средства. Искомая величина i определяется равенством
i r h(1 r). |
(4.18) |
Формула (4.18) носит название формулы Фишера. Величина h(1 + r) из формулы (4.18) называется инфляционной премией.
Пример 4.2. Пусть барьерная ставка равна 10%. При годовом темпе инфляции 24% найти минимальную приемлемую процентную ставку инвестирования.
Решение. Согласно формуле (4.18), имеем
36