Материал: 5358
|
h |
(3.15) |
|
|
|
1 hih exp |
|
(t)dt . |
|
0 |
|
Рассмотрим практически важный случай, когда сила процента не зависит от времени, то есть (t)= . В этом случае формула (3.15)
принимает вид: 1+hih = e h |
Учитывая тот факт, что e 1 i (см.формулу |
|||||||||||||
(3.10))? получим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(3.16) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(1 |
hi |
h |
) h |
|
1 |
i. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим практически важный случай, когда h |
1 |
p-целое. Тогда |
||||||||||||
p |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
формула (3.16) примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
|
1 |
|
i |
( p) |
) |
p |
1 i. |
|
(3.17) |
||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Здесь i(р) – номинальная процентная ставка, конвертируемая р раз в единицу времени, в частности в год. Из (3.17) можно получить
выражение i через i(р) и наоборот: |
|
|
|
|
|||||
ш |
(1 |
1 |
i |
( p) |
) |
p |
1, |
(3.18) |
|
p |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(3.19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i( p) |
|
|
|
|
|
|
|||
(1 i) p |
|
1 p. |
|
||||||
Из формулы (3.19) следует, что номинальная процентная ставка i(р)
эквивалента фактической процентной ставке в единицу времени i в том смысле, что они приносят одинаковый доход за единицу времени.
Пример 3.4. Найти накопленную стоимость 100 у.д.е. за 20 лет при:
а) фактическая процентная ставка 5 % в год ;
б) номинальная процентная ставка 5 % в год, выплачиваемая ежеквартально;
27
в) фактическая ставка 5 % в год, выплачиваемая в течение 10 лет, и
номинальная процентная ставка, выплачиваемая ежеквартально в течение последующих 10 лет.
Решение. А. Пользуясь формулой (2.2), получим А = 100(1+0,05)20 =
=265,33 у.д.е.
Б. Так как 20 лет состоят из 80 кварталов, то А = 100(1 + 14 
0,05)80 = =270,15
у.д.е.; |
|
|
|
|
В. А = 100(1 + 0,05)10 (1 |
1 |
0,05)40 |
267,73 у.д.е. |
|
4 |
||||
|
|
|
Пример 3.5. Пусть фактическая процентная ставка в год равна
10 %. Найти эквивалентную ей фактическую ставку в квартал.
Решение. Воспользуемся формулой (3.19): |
1 |
i(4) |
(1 0,1)1/ 4 |
1 0,024. |
|||||
4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Это фактическая квартальная ставка. Номинальная ставка: i(4) = |
|||||||||
4 (1 0,1)1/ 4 1 |
0,096. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.6. При i = 0,07 найти: а) i(12), б) i(4), г) . |
|
|
|||||||
Решение. Воспользуемся формулой (3.19): |
|
|
|
|
|||||
а) i (12) 12 (1 0,07)1/12 |
1 0,06785, |
|
|
|
|
||||
б) i(4) |
4 (1 |
0,07)1/ 4 |
1 |
0,06823, |
|
|
|
|
|
в) i(2) |
2 (1 |
0,07)1/ 2 |
1 |
0,06882. |
|
|
|
|
|
По формуле (3.10) |
In1,07 |
0,0676. |
|
|
|
|
|||
В этом примере выполняются неравенства: < i(12) < i(4) < i(2) < i.
Эти неравенства выполняются всегда, то есть для любых р1 < р2
< i ( p2 ) < i p1 ) < i.
28
3.4.Текущая стоимость
Впредыдущих разделах была выведена формула накопления капитала по известной силе процента:
t |
(3.20) |
|
A P exp (t)dt ,
0
где Р – начальный капитал; А – накопленная стоимость. Чтобы найти текущую стоимость, достаточно воспользоваться формулой (3.20)
и найти Р:
t |
(3.21) |
|
P Aexp |
(t)dt . |
|
0 |
Пусть накопленная стоимость А = 1. В этом случае величину Р обозначим через V(t):
|
t |
(3.22) |
|
|
|
V (t) exp |
|
(t)dt . |
|
0 |
|
Таким образом, V(t) – это текущая стоимость суммы 1, накопленной
за время t.
Замечание. Формула (3.20) и, следовательно, формула (3.21) были
выведены в случае, когда (t) является непрерывной функцией. Мате-
матически точно можно показать, что формула (3.20) остаётся верной,
когда (t) кусочно-непрерывная, в частности, кусочно-постоянная.
Пример 3.7. Пусть сила процента равна 6 %. Найти текущую стои-
мость суммы 100 у.д.е., выплачиваемой через 20 лет.
Решение. По формуле (3.21)
|
20 |
P 100 exp |
0,06dt 100 e 20 0,06100 e1,2 36,79 у.д.е. |
|
0 |
Пример 3.8. А. Пусть сила процента в банке А является кусочно-
постоянной:
29
|
0,08, |
0 |
t |
5, |
(t) |
0,06, |
5 |
t |
10, |
|
0,04, |
|
t |
t. |
Какая сумма дает за 20 лет накопленную стоимость 250 у.д.е.?
Б. Банк Б выплачивает проценты по фактической ставке 6 % в год в течение 20 лет. В какой банк следует поместить деньги, чтобы за 20 лет получить максимальный доход?
Решение: А. Воспользуемся формулой 3.21: P = 250 exp
20 |
|
5 |
10 |
20 |
|
(t)dt |
250 exp 0,08ве |
0,06dt |
0,04dt 250 exp 0,4 0,3 0,4 250е 1,3 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
83,22 у.д.е. |
|
|
|
|
Б. Найдём текущую стоимость суммы 250 у.д.е. за 20 лет: Р = |
||||
250 |
77,95 |
у.д.е. |
|
|
|
|
|
||
1,0620 |
|
|
||
|
|
|
|
|
Вывод: доход в банке А выше.
Рассмотрим практически важный частный случай, когда сила процента
постоянна, 
t 
. При этом exp
Обозначим exp
V , тогда
t |
|
t |
|
|
|
dt |
exp |
dt |
exp |
t |
(e )t . |
0 |
|
0 |
|
|
|
V (t) V t |
(3.23) |
для любых t > 0. На основании (3.10) формула (3.23) принимает вид
V (t) |
1 |
|
. |
(3.24) |
(1 |
i)t |
|
Все вышесказанное можно выразить в терминах учётной ставки, если вспомнить соотношение. Тогда V(t) = (1 – d)t.
30
3.5 Формула Студли для силы процента
Важным примером математической формулы для силы процента является формула Студли, которую можно записать в виде
(t) p |
S |
, |
|
||
1 r est |
||
|
|
(3.25) |
где p,s,r – параметры, которые определяются по заданной статистике.
Сила процента, определяемая формулой (3.25), обладает важным свойством: текущая стоимость любой суммы равна средневзвешенной текущих стоимостей двух сумм при различных постоянных значениях силы процента. Действительно,
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
s |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
rsesy |
|
|
|
||||
V (t) |
exp |
|
( у)dу |
|
exp |
( p |
|
|
|
|
)dy |
exp |
( p s |
|
|
|
|
|
|
)dy |
||||||||||||
0 |
1 |
r |
est |
1 |
r |
esy |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
dresy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
exp |
( p |
s)t |
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
( p |
s)t |
exp In(1 |
resy ) |
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
1 |
r esy |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
exp |
( p |
s)t |
exp In(1 |
rest ) |
In(1 |
|
r) |
exp |
( p |
s)t |
1 rest |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
r |
1 |
|
r |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
exp |
( p |
s)t |
|
|
|
|
|
r |
|
exp |
|
pt |
1 |
|
V t |
|
|
1 |
V t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
r |
|
|
1 |
r |
1 |
1 |
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где V |
e ( p |
s) ,V |
2 |
|
|
|
e p . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, если сила процента (t) определяется формулой Студли (3.25), то
дисконтирующий множитель V(t) находится по формуле V(t) =
1 |
|
е p s t |
|
r |
|
e p t . |
|
|
|
|
|
||
1 |
r |
1 |
r |
|||
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.Каково экономическое содержание понятия силы процента?
2.Каковы формулы накопления и дисконтирования в схеме непрерывных процентов?
31