Материал: 5358
i 0,1 0,24(1 0,1) 0,36(36%).
Исчислим теперь реальную ставку доходности с учётом инфляции и
налогообложения. Пусть ставка налога на прибыль равна f. Тогда при заданной годовой процентной ставке i начальный капитал Р даёт прибыль iР, налог с которой равен сумме iPf. Таким образом, чистая прибыль (за вычетом налога), равна величине iР(1-f). Из последнего выражения следует, что фактическая процентная ставка if с учётом налогообложения определяется равенством
if = i(1 – f). |
(4.19) |
|||
Подставляя в равенство (4.17) вместо i величину i /1 |
f , получим |
|||
реальную годовую ставку доходности: |
|
|||
r |
i(1 |
f ) h |
|
(4.20) |
1 |
h |
|
||
|
|
|||
с учётом инфляции и налога на прибыль.
Пример 4.3. Определить реальную ставку доходности при годовой процентной ставке 50%, годовом темпе инфляции 36% и ставке налога на прибыль 20%.
Решение. Согласно формуле (4.20),
r |
0,5(1 |
0,2) |
0,36 |
0,03(3%). |
|
|
|
||
1 |
0,36 |
|
||
|
|
|
Если бы налог не учитывался, то реальная процентная ставка равнялась бы
r |
0,5 |
0,36 |
0,10(10%). |
|
|
|
|||
1 |
0,36 |
|||
|
|
Таким образом, даже двадцатипроцентный налог на прибыль снизил реальную ставку доходности более чем в три раза. Этот факт объясняется тем обстоятельством, что налог взимается с номинального дохода, а не с реального.
Из равенства (4.20) можно найти номинальную процентную ставку i:
37
i |
r h(1 r) |
. |
(4.21) |
1 f |
|
||
|
|
|
Пример 4.4. При барьерной ставке 10% годовых, годовом темпе ин-
фляции 30% и налоге на прибыль 25% найти фактическую процентную ставку инвестирования.
Решение. Согласно формуле (4.21) имеем
i |
0,1 |
0,3(1 |
0,1) |
0,57(57%). |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
0,25 |
|
||
|
|
|
|
||
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.С помощью какого основного показателя оценивается процесс обесценения денег?
2.Каким соотношением связаны темпы инфляции за различные периоды времени?
3.Каким образом реальная процентная ставка за период времени связана с темпом инфляции и простой процентной ставкой наращения капитала?
4.В чём заключается экономическое содержание формулы Фишера?
5.Каким образом вычисляется реальная процентная ставка с учётом налогообложения?
5. ПОТОКИ НАЛИЧНОСТИ
5.1.Понятие потоков наличности.
5.2.Текущая стоимость потока наличности.
5.3.Оценка текущей стоимости потока наличности.
5.4. Процентный доход.
38
5.1. Понятие потоков наличности
Во многих задачах теории сложных процентов требуется найти те-
кущую стоимость серии будущих выплат (или поступлений). Эти выплаты носят название потоков наличности.
Потоки наличности подразделяются на дискретные и непрерывные.
Под дискретными понимают такие потоки, в которых выплаты (или поступления) денег происходят в фиксированные, отделённые друг от друга интервалами, моменты времени t. Число этих моментов времени может быть как конечными, так и бесконечными.
Иногда удобно рассматривать непрерывные потоки наличности, ко-
торые являются хорошей математической моделью частых выплат,
например, еженедельных пенсий. Непрерывные потоки в момент времени t
характеризуются нормой выплат p(t) в единицу времени.
Функция p(t) определяется следующим образом. Обозначим через Ф(t)
сумму выплат от нулевого момента времени до момента t. Тогда, по определению,
(5.1)
Другими словами, норма выплат – это скорость изменения суммы выплат. Рассмотрим интервал времени от а до . Из экономического смысла функции Ф(t) следует, что сумма выплат в этом интервале равна
Ф ( ) Ф( ) .
Пользуясь определением интеграла, запишем
Ф( ) Ф( ) Ф (t)dt. |
(5.2) |
|
Подставляя в формулу (5.2) формулу (5.1), получим
Ф( ) Ф( ) (t)dt. |
(5.3) |
39
5.2. Текущая стоимость потока наличности
Рассмотрим вначале дискретный поток. Пусть в моменты времени tj
производятся выплаты Cj . Тогда текущая стоимость на момент времени t = 0 этого потока равна
|
w |
|
A(0) |
C j V (t), |
(5.4) |
|
j 1 |
|
где функция V(t) определяется формулой (3.22). В формуле (5.4) w может равняться и бесконечности, тогда нужно потребовать, чтобы ряд в правой части (5.4) сходился.
Рассмотрим непрерывный поток |
наличности с нормой выплат (t). |
|
Рассмотрим интервал времени от t |
до t + t. Тогда сумма выплат равна |
|
t t |
|
|
Sdt |
∆ t. |
|
t
Текущая стоимость этой суммы на момент времени t = 0 равна V ∆t.
Суммируя эту текущую стоимость по всем малым интервалам в пределах от t = 0 до t = Т и заменяя сумму интегралом, получим текущую стоимость потока наличности:
T |
(5.5) |
|
|
A V (t) (t)dt. |
|
t |
|
В формуле (5.5) может быть Т = . Если одновременно имеются как
дискретный, так и непрерывный потоки наличности, то общая текущая стоимость находится по формуле
A(O) |
V (t j )C j |
V (t) (t)dt. |
(5.6) |
|
|||
|
j 1 |
0 |
|
40
Замечание. Выше предполагалось, что все выплаты являются по-
ложительными, однако можно рассмотреть отрицательные выплаты, то есть когда имеются доходы и расходы. В этом случае чистая текущая стоимость определяется как разность положительного и отрицательного потоков наличности.
Пример 5.1. Пусть |
(t) |
0,04, |
0 |
t 10, |
|
0,03, |
t |
10. |
|||
|
|
Найти V(t) и затем найти текущую стоимость непрерывного потока наличности за 15 лет при норме 1 в год, начиная с момента t = 0.
Решение. По формуле (3.22) найдём V(t) при 0 |
t < 10: |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V (t) |
|
exp 0,04dt |
|
|
exp |
0,04t . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При t 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V (t) |
exp |
0,04dt |
|
0,03dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
0,4 |
|
0,03t |
|
t |
exp |
0,4 |
0,03t |
0,3 |
exp 0,1 |
0,03t . |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V (t) |
|
e 0,04 , |
0 |
|
t 10, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e 0,1 0,03t , |
|
|
t |
10. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найдём текущую стоимость: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
15 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
A V (t) |
|
(t)dt |
|
V (t) |
1dt |
e 0,04t dt |
|
|
e 0,1 |
003t dt |
|
e 0,04t |
10 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,04 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
e |
0,1 0,03t |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
е 0,4 |
|
е 0,4 |
|
|
е |
0,55 |
|
|
11,35 у.д.е. |
|
|
||||
|
15 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
0,03 |
|
10 |
0,04 |
0,04 |
0,03 |
|
0,03 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
41