Материал: 5358

При этом вид вознаграждения оговаривается в условиях сделки. Это может быть товар любой природы. Но, как правило, проценты исчисляются в денежных единицах. В настоящем пособии и капитал, и

проценты будут исчисляться в денежных единицах, причём в единицах одной и той же валюты у.д.е.

Величина процентов зависит, очевидно, от того, каким типом процентов пользуются в данной сделке. Но в любом случае величина процентов зависит от трёх основных факторов: (1) времени займа; (2) риска невозврата капитала; (3) изменения курса валюты, в которой заключается сделка.

Изучать операции с процентами удобнее всего на примере вкладов,

хранящихся на сберегательном счёте в банке или в другой аналогичной организации. Наиболее элементарным является понятие простых процентов.

1.2. Определение простых процентов

По определению, сумма простых процентов за использование капитала

Коэффициент i носит название простой процентной ставки. Из формулы

(1.1) следует, что сумма процентов не зависит от расположения интервала на временной оси, а зависит от длины этого интервала. Величина S

измеряется в денежных единицах, поэтому размерность i есть t –1 . Иногда i

задаётся в процентах. Например, если i = 7 %, то в формуле (1.1) вместо i

нужно подставить число 0,07. Этот факт мы договоримся отмечать следующим образом: i ~7% или i = 0,07.

Предположим, мы вложили на счёт в банк сумму Р в начальный момент времени t1 = 0 на время t2 = t. На момент времени t мы имеем сумму Р и сумму процентов

7

носит название накопленной стоимости начального капитала Р при про-

стых процентах. При использовании формулы простых процентов (1.3)

необходимо учитывать два следующих соображения.

Во-первых, в схеме простых процентов происходит непрерывное на-

копление капитала, то есть величина t в формуле (1.3) может принимать

любые положительные значения (не обязательно целые).

Во-вторых, величины i и t должны быть представлены в одних и тех же единицах: если процентная ставка измеряется в единицах 1 в год, то единица времени – год, если берётся квартальная процентная ставка, то

время измеряется в кварталах и т.д.

Пример 1.1. Найти сумму простых процентов по кредиту в 500 у.д.е. на

75 дней при i ~ 8,5% в год.

Решение. Так как дана годовая процентная ставка, то время необходимо измерить в годах, то есть t = 75/365 лет. Тогда по формуле (1.2) сумма

простых процентов равна

s = 500 0,085 75/365 = 8,73 у.д.е.

Иногда полезно переводить процентные ставки из одной единицы измерения в другую. Для этого достаточно сделать переход к другим единицам измерения времени. Так, например, если дана годовая

Если дана, например, квартальная ставка i(1/квартал), то годовая равна i1

= i(1:1/4года) = 4i (1/год).

8

Пример 1.2. В погашение кредита в 200 у. д. е. через месяц должно быть уплачено 210 у.д.е. Найти простую процентную ставку в год.

Решение.

Здесь А = 210 у. д. е.; Р = 200 у.д.е., t = 1месяц. Пользуясь формулой (1.4),

получим

i = 210 200 = 0,05.

1 200

Исходя из указанных единиц измерения i – это месячная процентная ставка, то есть i = 0,05 (1/месяц).

Тогда годовая процентная ставка

1.3.Текущая стоимость

Впредыдущем разделе мы искали накопленную стоимость начального капитала при простых процентах. Рассмотрим обратную задачу: найти начальную стоимость Р по известному накопленному капиталу А. Из формулы (1.3) находим

В формуле (1.5) начальный капитал Р носит название текущей стоимо-

сти капитала А. Нетрудно заметить, что текущая стоимость зависит от процентной ставки и от периода времени.

Пример 1.3. Найти текущую стоимость суммы 600 у.д.е., уплачиваемой через 4,5 года, при простой процентной ставке 1) 12 % в год, 2) 3 % в

полугодие.

9

Решение.

Пример 1.4. Требуются суммы 350 у.д.е. и 500 у.д.е. соответственно через 3 и 5 лет. Требуется найти сумму, которую следует инвестировать для получения этих сумм. Предполагается, что процентная ставка равна 7 % в год.

Решение. Обозначим через Р искомую сумму. Пусть А1 = 350 у.д.е., A2 =

=500 у.д.е., t1 = 3, t2 = 5, i = 0,07. Рассмотрим два варианта решения. 1. Через t1 лет инвестированная сумма даст накопленную стоимость

A = P(1+it1).

После выплаты А1 величина

А – А1 = Р(1 – it1) – А1

остатка даст за время t2 – t1 накопленную сумму А2, то есть получим уравнение

Решая уравнение (1.6), найдём

Подставляя в формулу (1.7) исходные данные, получим Р =

10

Два различных способа приводят к разным результатам. Какой из

способов ошибочен?

Ошибочность первого способа заключается в том, что мы вышли за рамки простых процентов. На втором этапе были взяты проценты от процентов, то есть были использованы сложные проценты. Для того чтобы оставаться в рамках простых процентов, уравнение (1.6) нужно изменить, а

именно:

Первый способ решения задачи, приводящий к уравнению (1.6), со-

ответствует реальной ситуации, когда через 3 года счёт закрывается и сразу же открывается новый.

1.4. Простой дисконт

Примep 1.5. Пусть за 3 года начальный капитал £1 000 вырос до £1 300.

Найдём простую годовую процентную ставку

Впроцентном исчислении простая годовая процентная ставка равна 10

%.Рассмотрим процентную ставку нового типа, когда прирост капитала учитывается как доля от накопленной суммы. В этом случае мы придём к так называемой простой дисконтной или учетной ставке (сокращённо – простой дисконт). Обозначим простой дисконт символом d, тогда, по определению,

11