Материал: 5358

лет. По определению, сумма, которую он получит в конце n + 1-го года, состоит из суммы Ап плюс проценты от этой суммы за год, то есть: А(n+1) =An

Так как А1 = Р (1 + i), из этого следует равенство

An = P(1 + i)n . (2.2)

Таким образом, формула (2.2) даёт накопление капитала при сложных процентах за n лет. Сумма сложных процентов как разность между накопленным капиталом и исходным за n лет находится по формуле

(2.1)

Отметим, что в формулах (2.2) и (2.3) n – целое положительное. В

дальнейшем мы будем рассматривать случаи, когда n – любое положи-

тельное число.

Пусть процентная ставка зависит от времени I = i(t) и постоянна в единичном интервале времени от t до t+1. Тогда формула накопления капитала будет иметь вид:

Формула (2.2) есть частный случай формулы (2.4), когда i постоянна. В

круг задач финансовой математики входят:

1. Вычисление процентной ставки как функции времени при задан-

ных начальном капитале, накопленной стоимости и алгоритме накопления.

2.Вычисление начального капитала по заданным Ап и i(t).

3.Вычисление Ап по известным i(t) и Р.

2.2. Номинальные процентные ставки

Перейдём к изучению ситуации, когда накопление происходит в про-

извольные интервалы времени (не обязательно целые). В качестве единичного интервала возьмём год, хотя можно рассмотреть и другие единицы. Рассмотрим сделку, заключаемую в момент времени t на срок h,

где h – любое (не обязательно целое) положительное число.

17

Определение. Номинальной процентной ставкой ih(i) в единицу времени за период от t до t + h называется такое число, что фактическая (простая)

процентная ставка за этот период равна h in (t). Таким образом, если в момент времени t инвестируется капитал Р, то накопление капитала за период h находится по формуле

процентная ставка, выплачиваемая (или конвертируемая р-кратно). Опять

же i(1) = i

Пример 2.1. – Заданы номинальные годовые процентные ставки

Найти накопление капитала 1 000 у.д.е. за а) 2 дня, б) 1 неделю, в) 1

месяц.

Решение. Составим таблицу

Сроки

18

Замечание:

1.Номинальные процентные ставки примера 2.1 взяты из реальной практики деловой жизни Великобритании.

2.Если подсчитать доход от вложения 1 000 000 у.д.е. за два последовательных однодневных срока, то получим А = 1 000 000 (1 +

1/365 • 0,1175)2 = 1 000 644 (у.д.е.).

Прибыль за один двухдневный срок равна А = 1 000 000 (1 + 1/365 •

0,11625)2 = 1 000 637 (у.д.е.).

Это противоречие частично объясняется тем, что ожидается изменение процентных ставок и банки введением таких правил застраховывают себя от возможных потерь.

Если сумма 1 инвестируется на единичный срок при фактической процентной ставке hih(i), то сумма процентов за этот срок равна

вложенную единичную сумму можно конвертировать р раз и получить сумму процентов по формуле, аналогичной (2.3).

2.3 Коэффициенты накопления

Выберем некоторую фиксированную единицу времени (например, год).

Для t1<t2 под величиной A(t1,t2) будем понимать накопленную стоимость

19

единичной суммы за время t2 – t1. Из определения ih(t) следует, что

Отсюда получаем формулу для номинальной процентной ставки:

Равенство (2.10) соответствует тому практически очевидному факту, что за промежуток времени нулевой длины накопления капитала не происходит. Величину A(t1,t2) часто называют коэффициентом накопления,

так как величина накопления за время t2 – t1 начального капитала Р

Рассмотрим теперь три момента времени t0<t1<t2. Тогда накопление единичного капитала за время t2 – t0 определяется коэффициентом накопления A(t 0 ,t2). С другой стороны, накопление единичного капитала можно разбить на два этапа. За время t1 – t0 накопление определится коэффициентом A(t0,t1), а за время t2 – t1 величину накопленного капитала определим по формуле (2.11) как величину A(t0,t1)A(t1,t2). При нормально

Равенство (2.12) носит название принципа согласованности. На практике принцип согласованности, как правило, носит приближённый характер,

ввиду административных расходов, правил налогообложения и т.д. Тем не менее нужно иметь в виду, что в некоторых математических моделях появляются функции A(t1, t2), которые не удовлетворяют равенству (2.12).

Пример 2.2. Найти накопленную стоимость суммы 100 у.д.е.:

20

а) при номинальной ставке 4% в год на срок 1 квартал,

б) при номинальной ставке 6% в год на срок 1 месяц.

Решение:

А = 100 1,005 = 100,5 (у.д.е.).

Пример 2.3. Известно, что коэффициент накопления имеет вид (единица

времени –1 год) A(t1,tz) =exp 0,03(t2-t1).

а) показать, что A(t1,t2) удовлетворяет принципу согласованности;

б) найти накопление 1000 у.д.е. за 20 лет.

Перемножим (2.13) на (2.14) и воспользуемся свойством показательной

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.В чём принципиальное отличие простых процентов от сложных?

2.Как определяются операции наращения и дисконтирования в схеме сложных процентов?

21