Материал: 5358
3.В чём отличие простой процентной ставки от номинальной?
4.Как определяется принцип согласованности?
3.СИЛА ПРОЦЕНТА
3.1.Определение силы процента.
3.2.Связь между силой процента и коэффициентом накопления.
3.3.Связь между номинальными процентными ставками и силой процента.
3.4.Текущая стоимость.
3.5.Формула Студли для силы процента.
3.1.Определение силы процента
В предыдущих разделах было введено понятие номинальной процентной ставки ih(t). Особый интерес представляет предел этого выражения при h 0 Знак "плюс" здесь означает тот факт, что h стремится к нулю справа,
то есть является положительной величиной. Этот предел называется силой процента, которую будем обозначать символом (t ).Таким образом, по определению,
|
h |
|
(3.1) |
(t) lim i |
|
(t). |
|
h0
Вфинансовом смысле силу процента можно рассматривать как номи-
нальную процентную ставку, конвертируемую мгновенно, однако на практике невозможно реализовать процентную ставку, конвертируемую сколько угодно часто в единицу времени. Поэтому хорошим приближением к силе процента, достаточным для целей практического финансового анализа, можно считать номинальную процентную ставку сроком на один день.
22
3.2 Связь между силой процента и коэффициентом накопления
Подставим в формулу (3.1) выражение для номинальной процентной ставки, при этом получим
(t) lim |
A(t,t h) 1 |
(3.2) |
|
|
|
|
|
h 0 |
h |
|
Коэффициент А(t,t+h) представляет собой накопление единичного капитала к моменту t + h, инвестированного в момент времени t. Таким образом, сила процента есть скорость изменения единичного капитала в момент времени t.
Поставим обратную задачу: найти коэффициенты накопления с помощью силы процента. Если эта задача будет решена, то сила процента будет той универсальной величиной, с помощью которой можно будет решать любые финансово-экономические вопросы.
Теорема. Если (t) непрерывна, a A(t0 ,t) имеет производную при t > to, где to – начальный момент времени, то при условии выполнения принципа согласованности имеет место формула
t |
|
|
|
A(t0,t) = exp (t)dt . |
(3.3) |
||
t0 |
|
|
|
Доказательство. Рассмотрим выражение w(t) = |
A(t,t |
h) 1 |
|
|
h |
|
|
|
|
||
и умножим числитель и знаменатель на величину A(to,t). Тогда на основании принципа согласованности получим
w(t) = |
A(t0,t) A(t, t h) A(t0,t) |
|
A(t0 |
, t h) A(t0,t) |
. |
(3.4) |
|
hA(t0 |
, t) |
|
|
hA(t0,t) |
|||
|
|
|
|
|
|||
Так как величина A(to,t) не зависит от приращения h, то формула (3.1) в
силу (2.9) принимает вид
(t) |
1 |
lim |
A(t0 , t) |
A(t0 , t) |
. |
(3.5) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A(t0,t) h 0 |
h |
|
|||
Функция A(t0,t) является функцией одной переменной, а предел, стоящий в правой части (3.5), есть, по определению, производная от A(to,t). Поэтому
23
равенство (3.5) можно записать в виде
|
A (t0 ,t) |
(3.6) |
(t) |
A(t0 , t) . |
Равенство (3.6) является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции А. Решим (3.6):
|
|
1 dA |
|
, |
dA |
dt. |
(3.7) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
A dt |
|
A |
|
|||||||||
|
|
1 dA |
t |
dt, InA |
|
t |
t |
dt, |
||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
|
||
|
t0 |
t0 |
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
InA(t0 , t) |
|
InA(t0 , t0 ) |
dt. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
Так как А(t0 , t0 ) |
1 (см. формулу (2.10)), то равенство (3.7) принимает |
|||||||||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
InA(t0 ,t) |
(t)dt или |
A(t0 ,t) |
|
exp |
(t)dt . |
|||||||||
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
Теорема доказана.
Замечание. Доказательство этой теоремы имеет важное методоло-
гическое значение, так как здесь явно прослеживается основная идея теории сложных процессов – идея непрерывного роста денег. Если в начальный момент времени t = 0 инвестируется сумма Р 0 , то накопленный капитал A(t) за время t находится по формуле
t |
(3.8) |
|
A(t) P0 exp (t)dt .
0
Из формулы (3.3) можно получить связь между силой процента и годовой процентной ставкой. Для этого достаточно в (3.3) положить t0 =
0, t = 1:
1 |
(3.9) |
|
1 1 exp |
(t)dt . |
|
0 |
24
Пример 3.1. Найти накопленную стоимость 100 у.д.е. за год при силе процента 0,083 5 в год. Найти годовую фактическую процентную ставку,
соответствующую этой силе процента.
Решение. По формуле (3.8)
1
A 1 100exp 0,0835dt .
0
1
По формуле Ньютона-Лейбница 0,0835dt 0,835, поэтому А (1) = 100е0,0835
0
у.д.е.
На основании формулы (3.9) i = е0,0835 – 1= 0,0871.
Пример 3.2. Годовая фактическая процентная ставка равна 6 % Найти соответствующую ей постоянную силу процента.
Решение. По формуле (3.9)
|
|
1 |
i |
e . |
|
(3.10) |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
In(1,06) |
0,058. |
|
(3.11) |
|||
Пример 3.3. Накопление происходит при переменной силе процента, |
|||||||
которая задаётся формулой |
(t) |
a b exp(t /10), где единица измерения |
|||||
времени – год. Найти а, b, если известно, что сумма 100 у.д.е. даёт |
|
||||||
накопление 150 у.д.е. через 5 лет и 190 у.д.е. через 10 лет. |
|
||||||
Решение. Воспользуемся формулой (3.8) |
|
|
|||||
|
5 |
|
|
|
|
(3.12) |
|
А(5) |
100 exp |
a |
b exp(t /10 dt |
150, |
|||
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
||
A(10) |
100 exp |
a |
b exp t /10 dt |
190. |
(3.13) |
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Вычислим интегралы, стоящие в правых частях равенств (3.12), (3.13):
25
5
a b exp(t /10) dt (at 10b exp(t /10)
0
10
a b exp(t /10) dt (at 10b exp(t /10)
0
t |
5 |
5a 10b(e1/ 2 |
1), |
|
t |
0 |
|
|
|
|
t |
10 |
10a 10b(e |
1). |
|
||||
|
t |
0 |
||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
После этого система (3.12), (3.13) примет вид:
5a 10(e1 / 2 1)b |
In1,5, |
|
(3.14) |
||
10a 10(e 1)b |
In1,9. |
|
|
||
Умножим первое уравнение на 2 и вычтем из него второе: |
|||||
10(1 e) 20e1/ 2 b 2In15, In1,9 или b |
|
2In1,5 In1,9 |
0,0402. |
||
|
|
|
|||
10 1 e |
20e1 / 2 |
||||
|
|
||||
Подставим теперь выражение для в первое уравнение системы (3.14):
5a |
10 e1 / 2 |
1 2In1,5 In1,9 |
In1,5, |
а = 0,5448. |
|
10(1 |
е) 20е1 / 2 |
||||
|
|
|
3.3 Связь между номинальными процентными ставками и силой
процента
В предыдущем разделе была установлена связь между фактической годовой процентной ставкой и силой процента. Аналогичным образом можно получить соотношения, связывающие номинальные процентные ставки с силой процента и, следовательно, с фактической годовой про-
центной ставкой.
За период времени h от начального момента t0 = 0 единичный капитал
прирастится на величину A(0,h) = exp (t)dt .