Материал: 5358

6.1. Понятие ренты

Финансовые ренты, или аннуитеты, представляют собой частный случай потоков наличности, когда денежные суммы являются поло-

жительными и следуют друг за другом через равные промежутки времени.

Интервал времени между двумя последовательными денежными суммами носит название периода ренты. Существует чрезвычайно большое число рентных схем.

Если денежные суммы (платежи) равны между собой, то рента называется постоянной. Если платежи не равны между собой, то рента называется переменной. В этом случае задается закон изменения платежей.

Ренты различаются также по моменту выплаты платежей. Если платежи происходят в конце каждого периода, то такие ренты назы-

ваются приведёнными, или пренумерандо. Если платежи осуществляются в конце периода, то ренты называются обычными, или постнумерандо.

На практике эти ренты встречаются наиболее часто.

Ренты также подразделяются на верные и условные. Верные ренты предполагают безусловную выплату всех денежных сумм, например, при погашении кредита. Платежи при условных рентах носят вероятностный характер, например, пенсионные платежи, когда время окончания ренты является случайной величиной. Пенсионные ренты также подразделяются на немедленно начинающиеся и отсроченные.

Кроме того, ренты задаются в различных схемах наращения капитала

(простые, сложные и непрерывные проценты).

В настоящем разделе будет рассматриваться схема сложных процентов и простейшие случаи постоянных рент.

47

6.2. Простая рента пренумерандо

Рассмотрим приведённую ренту, или ренту пренумерандо. В качестве периода ренты Т примем одну единицу времени, то есть Т = 1. В качестве схемы наращения капитала примем сложные проценты с процентной ставкой i в единицу времени. Обычно в качестве единицы времени принимается 1 год, такая рента называется простой годовой рентой.

Найдём современную стоимость данной ренты, если срок ренты со-

ставляет п единиц времени, размер каждого платежа равен R. Поток платежей, описывающий ренту, запишем в форме таблицы (таблица 6.1).

Подставляя равенство (6.2) в (6.1), получим

Выражение, стоящее в правой части равенства (6.3), представляет собой сумму геометрической прогрессии. Напомним читателю, что гео-

метрической прогрессией называется последовательность а, аq, ..., аqп.

48

При этом сумма Sn первых n + 1 членов геометрической прогрессии определяется равенством

В данном случае a = R, знаменатель прогрессии q задаётся формулой

Равенство (6.3) с учётом формул (6.4) и (6.5) принимает вид

После упрощения формулу (6.6) можно представить в виде:

Формулу для современной стоимости простой в единицу времени ренты пренумерандо обычно представляют в форме стандартного меж-

дународного обозначения:

Символ än┐ – общепринятое международное обозначение современной стоимости простой ренты пренумерандо с единичными платежами.

Аналогично можно найти накопленную стоимость А(п) данной ренты на момент времени t = п. Первый член ренты за n единиц времени даёт наращение R(1 + i)n, второй член за n-1 единиц – R(1 + i)n-1 и т.д.,

последний член даёт за 1 единицу времени наращение R(1 + i).

Тогда

Суммируя ряд (6.9) по формуле (6.4), получим

49

Накопленную стоимость (6.10) можно получить, пользуясь равен-

ством (5.11). Для этого достаточно равенство (6.7) умножить на ве-

личину (1 + i)n.

Если ввести общепринятое обозначение

то наращенную стоимость можно определить равенством

Пример 6.1. Клиент банка вкладывает ежегодно в начале каждого года сумму 100 у.д.е. При годовой процентной ставке 8% найти наращение капитала за 10 лет.

Решение. Поток платежей, описывающий отношения клиента и банка,

представляет собой простую годовую ренту пренумерандо, где R = 100, п

= 10, i = 0,08. Накопление капитала на банковском счету клиента к моменту времени t = п представляет собой накопленную стоимость А(п)

данной ренты. Следовательно, в соответствии с формулой (6.10)

наращение капитала за 10 лет определяется равенством

Пример 6.2. Банк, владеющий участком земли стоимостью 35 000

у.д.е., сдаёт его в аренду фермеру сроком на 10 лет. Определить размер арендного платежа, который производится в начале каждого года,

начиная с даты заключения договора аренды, если годовая банковская процентная ставка равна 9% в схеме сложных процентов.

Решение. Представим поток платежей, описывающий финансовые отношения банка и фермера, в виде таблицы (таблица 6.2).

50

Таблица 6.2 – Поток финансовых отношений фермера и банка

Таблица 6.2 составлена со стороны банка, то есть в начальный момент времени банк отдаёт 35 000 у.д.е. (в таблице эта сумма берётся со знаком

"минус") и затем получает арендные платежи в течение 10 лет, а в начале

10-го года получает назад £35 000 (цена земли). Здесь предполагается,

что цена земли при землепользовании не уменьшается. Метод определения регулярного платежа базируется на принципе эквивалентности финансовых обязательств сторон. Этот принцип мате-

матически можно сформулировать как равенство нулю современной стоимости потока наличности, описывающего финансовую операцию.

Данный принцип базируется на интуитивном понятии равенства сторон,

участвующих в сделке, а именно равенстве доходов и расходов одной стороны или, что то же самое, равенстве доходов обеих сторон.

Арифметическое равенство доходов и расходов здесь не годится, так как не учитывается время поступления и расходования денег.

Чтобы объединить факторы времени и денег в формулировании ра-

венства сторон, экономисты договорились привлекать операцию дис-

контирования потока наличности, базирующуюся на математической эквивалентности денег в рамках той или иной схемы наращения капитала.

Принцип финансовой эквивалентности сторон является общепринятым и служит базой расчётов аналогичных задач финансового менеджмента,

будь то ренты, кредитные расчёты, лизинговые операции, ипотеки,

оценка инвестиционных проектов и т.д.

Итак, найдём современную стоимость данного потока наличности на дату заключения договора:

51