Материал: 5358

Полагая А(0) = 0, получим уравнение для нахождения величины R:

Выражение, стоящее в скобках в левой части равенства (6.12), есть величина än┐ и, согласно формуле (6.8), равно

Из последнего равенства находим, что R = 2 889,91 у.д.е. Сравнивая формулы (6.13) и (6.14), можно заметить, что величина арендного платежа не зависит от числа лет аренды и определяется равенством R 35000 1 i i .

Этот парадокс объясняется тем, что по условию задачи стоимость земли при землепользовании не уменьшается.

Иногда в рассмотрение вводятся так называемые вечные ренты. Эти ренты характеризуются тем, что количество рентных платежей бес-

конечно. В этом случае современная стоимость ренты определяется равенством

Подставляя в формулу (6.16) выражение (6.8), получим

52

Таким образом, современная стоимость простой ренты пренумерандо имеет вид:

Пример 6.3. Клиент и банк заключили договор, согласно которому банк будет выплачивать ежегодно в начале каждого года сумму 100 у.д.е.

Определить цену этой ренты для клиента, если годовая банковская процентная ставка равна 7%, а права клиента по договору передаются по наследству.

Решение. Поток платежей представляет собой простую годовую вечную ренту. Поэтому, согласно принципу финансовой эквивалентности сторон,

цена ренты совпадает с ее современной стоимостью и определяется формулой (6.18), т.е.

Таким образом сумма 1 528,57 у.д.е. гарантирует ежегодные выплаты в сумме 100 у.д.е. бесконечное число лет. Попытаемся понять, почему конеч-

ная сумма 1 528,57 у.д.е. позволяет выплачивать сумму 100 у.д.е.

бесконечное число раз. В начальный момент времени банк фактически получает 1 428,57 у.д.е., так как из полученной суммы 1 528,57 у.д.е.

сразу же выплачивается первый рентный платёж 100 у.д.е. Процентные деньги от суммы 1 428,57 у.д.е. за год при процентной ставке i = 0,07

находятся по формуле

S = 1 428,57 × i = 100 у.д.е.

53

(с учётом округления цифр). Следовательно, в конце первого года банк имеет первоначальную сумму 1 428,57 у.д.е. и сумму процентов 100

у.д.е., которую выплачивает в форме второго рентного платежа. В

течение второго года процесс повторяется, то есть к концу второго года сумма 1 428,57 у.д.е. создаёт процентные деньги в сумме 100 у.д.е.,

которые выплачиваются в форме рентного платежа. Очевидно, этот процесс может продолжаться бесконечно долго, пока существует банк и задана процентная ставка i , так как процесс выплаты ренты, по существу,

представляет собой процесс ежегодных выплат процентных денег по вкладу.

Из представленных рассуждений можно сделать важный вывод, а

именно: в конце года договор может быть расторгнут после возврата банком суммы 1 528,57 у.д.е. или, что то же самое, суммы 1 428,57 у.д.е.

и рентного платежа 100 у.д.е. В этом случае интересы обеих сторон не пострадают.

6.3. Простая рента постнумерандо

Рассмотрим теперь ситуацию, когда выплаты производятся в конце каждого периода. В этом случае поток наличности представлен таблицей

6.3.

Таблица 6.3 – Поток наличности постнумерандо

Современная стоимость потока наличности определяется формулой

54

Для случая сложных процентов дисконтирующий множитель опреде-

ляется равенством (6.2), поэтому выражение (6.19) принимает вид:

На основании формулы (6.4) и суммы геометрической прогрессии ряд

(6.20) суммируется в форме:

Пример 6.4. Гражданин N заключил с банком договор, согласно которому банк выплачивает ежегодно в конце каждого года 150 у.д.е. Найти сумму,

которую N должен внести в банк при подписании договора, чтобы обеспечить будущие платежи в течение 5 лет при годовой процентной ставке 15%.

Решение. Данные платежи представляют собой простую годовую ренту постнумерандо. Необходимая сумма, которую должен внести N,

фактически является современной стоимостью данной ренты. Найдём вначале an :

55

Затем по формуле (6.23) находим А(0): А(0) = 150а5┐= 502,83 у.д.е.

Проверим, действительно ли суммы 502,83 у.д.е. хватит для выплаты ренты при 15% годовых. За первый год сумма 502,83 у.д.е. при 15%

годовых нарастится до величины

Ф(1) = 502,83(1+0,15) = 578,254 5 у.д.е.

После выплаты первого рентного платежа 150 у.д.е. на счету останется сумма 428,25 у.д.е. Оставшаяся сумма к концу второго года нарастится до величины 492,49 у.д.е. и после выплаты 150 у.д.е. сократится до

342,49 у.д.е. К концу третьего года остаток составит 243,87 у.д.е. и к концу четвёртого года – 130,45 у.д.е. За последний пятый год сумма

130,45 у.д.е. нарастится до суммы 150,01 у.д.е, то есть до суммы последнего рентного платежа (с учётом округления цифр).

Найдём накопленную стоимость А(п) простой в единицу времени ренты постнумерандо. На основании формулы (5.11) можно записать:

Величина sn есть накопленная стоимость простой в единицу времени

ренты постнумерандо с единичными платежами. Иногда величины sn и an , называют коэффициентами наращения и приведения простой ренты

коэффициентов наращения и приведения простой ренты пренумерандо.

Существуют обширные таблицы коэффициентов приведения и наращения рент ( приложение 2), используемые при различного рода

56