Материал: 5358

финансово-экономических расчётах. Обычно задаются таблицы коэффициентов приведения простой ренты постнумерандо для различных значений числа периодов n и процентных ставок i. Остальные ко-

эффициенты легко выразить через величины an ┐. Нетрудно заметить справедливость равенств:

Пример 6.5. По суду установлено, что гражданин N ежемесячно в течение трёх лет недоплачивал налогов в сумме 100 у.д.е. Суд постановил в течение месяца компенсировать недоимку единовременным платежом в предположении, что государство наращивает капитал с номинальной процентной ставкой 12% годовых, конвертируемой 12 раз в год. Найти единовременный платёж.

Решение. Задачу можно решить двумя способами. Поток платежей,

соответствующий недоплате налогов, представляет собой простую ме-

сячную ренту постнумерандо, так как платежи должны производиться в конце каждого месяца, месячная процентная ставка равна 1%, и проценты на проценты начисляются раз в месяц. Число платежей n = 36.

Поток наличности, описывающий финансовые отношения государства и

N, в соответствии с условиями задачи можно представить в виде таблицы (таблица 6.4)

Таблица 6.4 – Финансовый поток государства и гражданина

57

Здесь X – величина единовременного платежа, который выплачивается в

течение месяца после трёх лет недоплат, то есть, полагаем, при t = 37.

Согласно первому способу решения задачи можно найти современную стоимость потока наличности на момент времени t = 0, изображённого в таблице 6.4, и, ввиду принципа финансовой эквивалентности сторон,

приравнять найденную современную стоимость к нулю. Из полученного

уравнения можно найти величину X.

Второй способ состоит в том, чтобы найти наращение месячной ренты на момент t = 37 и приравнять к величине X, что соответствует идее

компенсации гражданином N упущенной выгоды государства.

Нетрудно заметить, что два способа решения задачи эквивалентны, то

есть приводят к одному и тому же результату.

Рассмотрим второй способ. Найдём накопленную стоимость А(36)

Пересчитаем накопленную стоимость месячной ренты на момент времени t = 37. Согласно формуле (5.11) А(37) = А(36) × (1 + i) = 4 307,69 · 1,01 =

4 350,77 у.д.е.

Таким образом, единовременный платёж X = 4 350,77 у.д.е.

6.4. Общая рента

Рассмотрим случай ренты, когда платежи производятся т раз в единицу времени, а проценты на проценты начисляются q раз в единицу времени, то есть задана номинальная процентная ставка i(q), кон-

вертируемая q-кратно в единицу времени.

Пусть R – разовый платёж ренты, п – число лет рентных платежей.

Тогда современная стоимость общей ренты постнумерандо находится по формуле

58

Аналогично для общей ренты пренумерандо современная стоимость

определяется равенством

Пример 6.6. Магазин продаёт в рассрочку автомобиль стоимостью 3 000 у.д.е. на следующих условиях: срок платежей – 3 года, в год производится четыре платежа, при продаже покупателем уплачивается

25% стоимости. Найти размер разового платежа при годовой ставке

11%, конвертируемой три раза в год.

Решение. Поток наличности, описывающий отношения сторон с по-

зиции магазина, представлен в таблице 6.5.

Таблица 6.5 – Финансовый поток отношений магазина и покупателя

Согласно таблице 6.5, магазин отдаёт покупателю машины сумму

3000(1 – 0,25) = 2 250(у.д.е.) в кредит. Эта сумма является современной стоимостью ренты, описывающей погашение кредита. По условию за-

дачи данная рента является общей рентой постнумерандо с параме -

трами т = =4, q = 3, n = 3, i(q) = 0,11. Её современная стоимость,

согласно формуле (6.25), определяется соотношениями:

59

Таким образом, для нахождения величины R имеем уравнение 2 250 = 10,14R, решая которое получим, что R = 221,89. Следовательно,

разовый платёж равен 221,89 у.д.е.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.Какие существуют классификации рент?

2.В чём суть принципа эквивалентности финансовых обязательств сторон?

3.На каком математическом аппарате базируется расчёт современных стоимостей рент?

7.УРАВНЕНИЕ СТОИМОСТИ

7.1.Постановка задачи.

7.2.Уравнение стоимости.

7.3.Условия существования корней уравнения стоимости.

7.1.Постановка задачи

Рассмотрим следующую простую задачу (А): пусть в некоторый мо-

мент времени 0 инвестор вкладывает сумму Р и затем получает доход в единицу времени 1, 2,..., п – 1 в объёме wP и в единицу времени n в

объёме wP плюс возврат суммы Р. Интуитивно ясно, что норма прибыли в единицу времени (в беспроцентном исчислении) равна w.

60

Поставим теперь задачу: как вычислить норму прибыли любой сделки и когда возможно такое вычисление, если условия сделки достаточно сложны.

Рассмотрим следующую сделку: в момент времени t1, t2,..., tn инвестор расходует суммы at1 at2 , …, atn и получает суммы bt1 bt2 , …, btn .

Это общий случай дискретного потока, так как в некоторые моменты tj либо at j либо bt j равны нулю. В данном случае {bt j } есть положительный поток наличности, {at j }– отрицательный поток.

Основная идея определения нормы прибыли состоит в нахождении текущих стоимостей отрицательного и положительного потока и при-

равнивании этих стоимостей.

7.2. Уравнение стоимости

Найдём текущую стоимость отрицательного потока наличности от-

носительно начального момента времени t = 0:

Здесь – постоянная сила процента. Приравнивая А(0) и B(0), по-

лучим равенство

Равенство (7.1) называется уравнением стоимости относительно не-

известной силы процента. Существенно важным здесь является то, что

61