Материал: 5358

предполагается постоянной, которая определяет "внутреннюю норму прибыли" сделки. Если, например, окажется, что при другом распределении капитала (то есть при другом виде уравнения (7.1) вели-

чина окажется больше, то необходимо выбрать второй способ вложения капитала).

В уравнении (7.1) можно перейти от силы процента к процентной ставке в единицу времени по формуле = ln(l + i):

Уравнение стоимости в форме (7.2) называется уравнением доходности относительно i. В этом случае i называется внутренней доходностью в единицу времени.

Обозначим

момент tj.

До сих пор рассматривалась сделка, описываемая дискретными по-

токами наличности. Пусть имеется сделка, описываемая непрерывным потоком наличности, где 1(t) – норма доходов, 2(t) – норма расходов и

(t) = 1(t) – 2 (t) – чистая норма движения наличности. В этом случае уравнение стоимости будет иметь вид

62

Для произвольной сделки, в которой присутствуют дискретные и непрерывные потоки наличности, уравнение стоимости имеет вид:

Замечание. Уравнение (7.6) занимает центральное место в сфере фи-

нансово-экономических расчётов, так как описывает, в принципе, любую сделку. С этим уравнением связаны основные задачи финансовой ма-

тематики: (1) нахождение i по заданным отрицательным и положительным потокам наличности, (2) нахождение отрицательного потока по заданной норме прибыли и положительному потоку, (3) нахождение положительного потока по заданному отрицательному потоку и норме прибыли и т.д.

7.3. Условия существования корней уравнения стоимости

Если обратиться к уравнению (7.4), то формально оно имеет смысл при условии

Условие (7.7) означает, что в уравнении (7.4) операции производятся над вещественными числами. Хотя значения i, удовлетворяющие

неравенству –1<i<0, и не имеют непосредственного экономического

смысла, будем рассматривать все значения, удовлетворяющие (7.7).

Рассмотрим варианты:

1. Уравнение (7.4) не имеет корней. В этом случае для данной сделки не существует и, следовательно, не существует внутренней доходности i.

2. Уравнение (7.4) имеет более одного корня, причём положительных корней либо не существует, либо существует более одного. В этом случае говорят, что внутренняя норма прибыли и, следовательно, вну-

тренняя доходность для данной сделки также не существует.

63

3. Существует единственный корень уравнения (7.4). Тогда его

решение 0 носит название внутренней нормы прибыли, то есть доход-

4. Существует единственный положительный корень 0 > 0 уравнения

(7.4) (могут существовать при этом и отрицательные корни). Тогда

Таким образом, доходность сделки существует тогда и только тогда,

когда уравнение (7.4) имеет единственное решение относительно или единственное положительное решение.

Сформулируем условия существования доходности сделки, в част-

ности условия существования положительной доходности.

Теорема 1. Пусть для сделки все расходы предшествуют всем доходам

(или наоборот), тогда существует единственное решение уравнения

доходности.

Теорема 2. Пусть сделка задана моментами времени t1<t2<…<tn и

следующими свойствами:

1) A1 0, An 0 ;

2) после исключения нулевых значений последовательность А1, А2,.,. Ап

содержит одну перемену знака. Тогда уравнение доходности имеет только один положительный корень.

Теореме 2 удовлетворяет сделка, в которой все расходы предше-

ствуют всем доходам и итоговая сумма поступлений превосходит

итоговые затраты.

64

Тогда последовательность {Ат} = {–5,–4,–7,1,5} содержит одну перемену знака, причём A1 0, A5 0 .

Пример 7.1. Найти доходность в задаче А (пункт 7.1. Постановка задачи).

Решение. Составим уравнение доходности. Для этого вначале опи-

Пользуясь формулой суммы геометрической прогрессии, запишем равенство (7.8) в виде

Таким образом, внутренняя доходность в данной сделке равна w, что соответствует интуитивным представлениям, о доходности.

Пример 7.2. Инвестор вкладывает 500 у.д.е. в данный момент и 200

у.д.е. через два года и получает 1 000 у.д.е. через 5 лет. Найти доходность сделки.

Решение. По теореме 1 существует единственное решение уравнения доходности. Далее

65

Последовательность А(0), A(1), А(2) имеет одну перемену знака,

следовательно, по теореме 2 решение уравнения доходности положительно.

Уравнение доходности имеет вид f(i) = –500 – 200(1 + i)-2 + 1 000(1 + i)-5 = 0.

0, то корень i0 лежит между числами 0 и 1. С помощью метода деления отрезка пополам с точностью, например, до 0, 001 находим, что i0 = 0,083,

или 8,3%.

Доходность в данной задаче имеет следующую простую интерпре-

тацию: если инвестор вложит в банк в данный момент 500 у.д.е. и через

2 года сумму 200 у.д.е. под i процентов годовых, то при i < 0,083 через 5

лет он получит менее 1 000 у.д.е., а при i > 0,083 – более 1 000 у.д.е.

Действительно, уравнение, используемое при вычислении внутренней доходности i0, можно представить в форме равенства

Накопление капитала 500 у.д.е. за 5 лет по процентной ставке I составит величину

S1= 500(1+i)5 в схеме сложных процентов. Капитал 200 у.д.е. за 3 года даёт наращение S2 = 200(1+i)3. Таким образом, накопление совокупного капитала S1 + S2 составляет левую часть уравнения (7.10).При i = i0

уравнение (7.10) превращается в тождество, так как внутренняя доходность i0 является корнем уравнения стоимости. Так как левая часть уравнения (7.10) монотонно возрастает по мере возрастания процентной ставки i, то при i > i0 накопленный капитал S1 + S2 будет больше суммы

1 000 у.д.е., а при i < i0 величина S1 + S2 будет меньше 1 000 у.д.е.

66