Материал: 4437
такую, при прочих равных условиях у которой доходность максимальна.
Область определения левой части (5.1) определяется неравенством i 
1,
однако реальный экономический смысл имеет только положительная доходность (i 0).Следует иметь в виду, что доходность сделки существует,
если уравнение (5.1) имеет только положительный корень.
Сформулируем правила, на основании которых можно определить, не
решая уравнение стоимости, имеет данная сделка положительную доходность или нет.
Правило 1. Пусть сделка задана потоком наличности Сt j , 1 
j n.
Пусть накопленные к моменту времени tm итоговые суммы
|
|
|
m |
|
|
|
Am |
Ct j |
,1 m n, |
|
|
|
j 1 |
|
обладают следующими свойствами: |
|
|||
1) |
A1 0, An |
0, |
|
|
2) |
после |
исключения |
нулевых |
значений последовательность |
A1, A2 ,...,An имеет ровно одну перемену знака.
Тогда уравнение стоимости имеет ровно один положительный корень.
Правило 2. Если в сделке все расходы предшествуют всем доходам и итоговая сумма поступлений превосходит итоговые затраты, то уравнение
стоимости имеет ровно один положительный корень.
Пример 5.1. Пусть сделка определяется потоком наличности
Ct j |
5,1, 3, 8, 4 . |
Исследовать существование доходности данной сделки.
Решение. Воспользуемся правилом 1 и вычислим итоговые суммы:
A1 |
5; A2 |
|
Ct |
Ct |
2 |
|
5 1 |
4; A3 |
Ct |
Ct |
2 |
Ct |
3 |
7; |
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
A4 |
Ct |
Ct |
2 |
Ct |
3 |
Ct |
4 |
1; A5 |
Ct |
Ct |
2 |
Ct |
|
Ct |
4 |
Ct |
5 |
5 . |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|||||||
22
Таким образом, последовательность Ai 
5; 4; 7;1; 5 
имеет одну перемену знака (вначале следуют отрицательные члены, затем
положительные), причём A1 |
0, A5 |
0. Сделка имеет доходность. |
|||
Пример |
5.2. |
Пусть |
сделка |
определяется потоком наличности |
|
Ct |
i |
6; 1; |
8; 5;17; 3 . Исследовать существование её доходности. |
||
|
|
|
|
|
|
Решение: В данном случае все расходы хронологически предшествуют
всем доходам (капиталы с отрицательным законом соответствуют расходам), причём общая сумма доходов (5+17+3=25) больше общей суммы
расходов (6+1+8=15). Следовательно, по правилу 2 сделка имеет доходность.
Пример 5.3. Инвестор вкладывает в дело 700 у. д. е. в данный момент, 300 у.
д. е. через 3 года. Ещё через 1 год получает 200 у. д. е., затем через 2 года вкладывает 300 у. д. е. и после этого через 1 год получает 2 500 у. д. е. Найти внутреннюю норму прибыли, если она существует, данной сделки с точностью
0,01.
Решение: Данная сделка характеризуется следующим потоком наличности:
Ct |
i |
|
700; 300; 200; 300; 2 500 |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
0, t2 |
3, t3 |
4, t4 |
6, t5 7. |
|
|
Составим уравнение стоимости: |
|
|||||
700(1 |
i)0 |
300(1 |
i) 3 |
200(1 i) 4 |
300(1 i) 6 |
|
2 500(1 i) |
7 0. |
|
|
|
||
Упростим данное уравнение, умножив обе его части на множитель
(1 i)7 и сократив на 100:
7(1 i)7 |
3(1 i) 4 2(1 |
i)3 3(1 |
i) |
25 0 |
Согласно |
правилу 1, |
доходность |
i0 |
данной сделки существует. |
Найдём её. Воспользуемся методом бисекции или деления отрезка пополам. Введём функцию:
f (i) 
7(1 i)7 3(1 i) 4 2(1 i)3 3(1 i) 25 0 .
23
Решение уравнения будем искать при i |
0. |
Найдём |
вначале |
||||||||||||||||||
интервал, |
на |
концах |
|
которого |
функция |
f (i) |
принимает |
значение |
|||||||||||||
противоположных знаков. Тогда, как известно, |
корень |
i0 находится |
|||||||||||||||||||
внутри найдённого интервала. Такой интервал находится подбором. |
|
||||||||||||||||||||
Например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (0) |
7 |
|
3 |
2 |
3 |
25 |
0, |
f (0,5) |
7 |
1,57 |
|
3 1,54 |
2 |
1,53 |
3 1,5 |
25 0. |
|||||
Следовательно, в качестве исходного интервала можно взять |
|
||||||||||||||||||||
(0; 0.5). Найдём середину этого интервала i1 |
0,25и вычислим значение |
||||||||||||||||||||
функции |
f |
в этой точке: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f (0,25) |
|
7 |
1,257 |
3 |
1,254 |
2 |
1,253 |
3 |
1,25 |
25 |
|
15,49 . |
|
||||||||
Теперь из двух интервалов (0; 0.25) и (0.25; 0.5) выберем тот, на |
|
||||||||||||||||||||
концах которого функция |
|
f |
принимает значение различных знаков. |
||||||||||||||||||
Этот интервал (0; 0.25). Повторяя это процесс, выберем середину |
|||||||||||||||||||||
последнего интервала i2 |
0,125 и найдём f (0,125) |
3,67 |
0 . |
|
|
||||||||||||||||
Аналогично, новый интервал, будет (0,125; 0,25). Возьмём его середину |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
i3 |
(0,25 |
0,125) |
0,5 |
0,188. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда |
f (0,188) |
|
0 |
и новый интервал будет (0,125; |
0,188) . Его |
||||||||||||||||
середина |
i4 |
(0,188 |
0,125) |
0,5 |
0,156. Далее, |
f (0,156) |
0 , |
новый |
|||||||||||||
интервал (0,125; 0,156), его середина i5 |
(0,125 |
0,156) |
0,5 |
0,14 . Далее, |
|||||||||||||||||
f (0,14) 0 , новый интервал (0,14; 0,156). Решим теперь вопрос о точности |
|||||||||||||||||||||
вычисления i0 и, тем самым, |
о прекращении указанного процесса. |
На |
|||||||||||||||||||
концах интервала (0,14;0,156) функция |
f (i) |
принимает значения разных |
|||||||||||||||||||
знаков, |
следовательно, |
i0 |
(0,14; 0,156) . Кроме |
того, |
длина |
данного |
|||||||||||||||
интервала равна 0,016. Поэтому, если в качестве приближённого значения |
|||||||||||||||||||||
i0 взять середину интервала, |
то погрешность будет меньше половины, то |
||||||||||||||||||||
есть меньше 0,008 и, следовательно, меньше заданной точности |
0,01. |
||||||||||||||||||||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
0,14 |
0,156 |
|
|
i0 |
|
|
0,15 |
|
2 |
||
|
|
|
|
Доходность сделки равна 15 %.
3. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
3.1. ТАБЛИЦА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ВАРИАНТАМ ПО ПОСЛЕДНЕЙ ЦИФРЕ НОМЕРА В ЗАЧЁТНОЙ КНИЖКЕ
Вариант |
Задачи |
1 |
1, 11, 12,22, 32, 42 |
2 |
2, 11, 13, 23, 33, 43 |
3 |
3, 11, 14, 24, 34, 44 |
4 |
4, 11, 15, 25, 35, 45 |
5 |
5, 11, 16, 26, 36, 46 |
6 |
6, 11, 17, 27, 37, 47 |
7 |
7, 11, 18, 28, 38, 48 |
8 |
8, 11, 19, 29, 39, 49 |
9 |
9, 11, 20, 30, 40, 50 |
10 |
10, 11, 21, 31, 41, 51 |
3.2. Задачи контрольной работы
1.Найти сумму простых процентов по кредиту 1 000 у. д. е на 53 дня при а) 8 % в год; б) 3 % в месяц. В случае а) найти годовую учётную ставку.
2.Кредит 135 у. д. е. погашается суммой 180 у. д. е. за 67 дней. Найти простую квартальную процентную ставку и годовую учётную ставку.
3.Найти текущую стоимость суммы 750 у. д. е., уплачиваемой через
5 лет при простой процентной ставке 2% в квартал. Найти соответствующую годовую учётную ставку.
4. Дисконтировать 150 у. д. е. на 5 месяцев при простой учётной ставке d = 0,06 в год. Найти годовую процентную ставку.
5. Суммы 100 и 250 у. д. е. требуются соответственно через 3 и 5 лет.
Предполагая годовую процентную ставку равной 10 %, найти
25
инвестируемую сумму, формирующую накопление по формуле простых процентов.
6. Инвестируемая сумма 100 у. д. е. позволяет при начислении по простому годовому проценту i выплачивать через 3 месяца 40 у. д. е. и
затем ещё через 6 месяцев 119 у. д. е. Найти i в процентах.
7. Дана учётная ставка 8 % в год. Найти соответствующую ей простую процентную ставку и накопление капитала 1 500 у. д. е. за 35 дней.
8.Срочная ценная бумага сроком на 72 дня под 15 % годовых с номинальной стоимостью 1 000 у. д. е. продаётся через 25 дней банку с учётной ставкой 17 % годовых. Найти цену продажи.
9.Инвестируемая сумма 125 у. д. е. позволяет под 22 % годовых получить через 4 месяца 50 у. д. е. и затем ещё через 7 месяцев X у. д. е.
Найти X.
10. Инвестируемая сумма 625 у. д. е. позволяет под 25 % годовых получить через 2 месяца X у. д. е. и затем ещё через 10 месяцев – 700 у. д.
е. Найти X.
11. Вексель с номинальной стоимостью 100 x + 400 у. д. е. с процентной ставкой (0,1 у +12) % годовых сроком на Z + 70 дней продаётся через 40 – z дней после подписания векселя банку с учётной ставкой (10 – 0,1 у) %
годовых. Найти норму прибыли продавца и банка, если x – номер варианта, y – пятая цифра, z – четвёртая цифра зачётной книжки.
Решить следующие задачи на сложные проценты
12.Фактическая процентная ставка на настоящее время составляет 28%
вгод, но через 2 года она понизится до 20 %.
Найти накопление 1 500 у. д. е. за 5 лет.
13. По первоначальному вкладу 750 у. д. е. за 7 лет накоплена сумма 1 000 у. д. е. Найти фактическую годовую процентную ставку.
14.За три года накоплена сумма 7 500 у. д. е. при фактической процентной ставке 9 % в год. Найти первоначальный вклад.
15.Даны две номинальные процентные ставки 11,5 % в год сроком на 7
26