Материал: 4437
Условие согласованности выполняется.
2.3. Сила процента
Во многих случаях при теоретических исследованиях и практических расчётах используется сила процента, т.е. процентная ставка, изменяющаяся с течением времени по произвольному закону.
По определению, сила процента (t) равна пределу номинальной
процентной ставки ih (t) , когда величина h стремится к нулю. Исходя из этого определения можно получить следующие соотношения между силой процента, коэффициентами накопления и номинальными процентными ставками:
A(t1,t2 ) exp |
t2 |
(t)dt , |
|
t1 |
|||
|
|
t h
ih (t) exp t
(t)dt |
1 h 1. |
Особый интерес представляет случай, когда сила процента постоянна,
т.е.
(t) 
const.
В этом случае процентная ставка i в единицу времени связана с 
формулами
i e
1,
n(1 i).
(3.1)
Для номинальной процентной ставки
ih |
e h |
1 |
, |
h |
|
||
|
|
|
1 |
n(1 h i ). |
|
|
h |
n |
|
12
Для процентной ставки i |
в единицу времени |
|||||
1 i (1 h |
ih ) 1h . |
(3.2) |
||||
|
h |
1 |
, p |
целое, тоi 1 i ( p) |
||
Если |
|
|||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|||
|
|
|
|
|
||
номинальная |
процентная ставка, конвертируемая p раз в единицу |
|||||
времени.
Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
( p) |
|
p |
|
( p) |
|
|
|
|
i (1 |
i |
) |
1,i |
(1 i) |
p |
1 p. |
|
||||
p |
|
|
|
|
(3.3) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Накопление капитала P при переменной силе процента находится по формуле
A P exp |
t2 |
(t)dt , |
(3.4) |
|
t1 |
||||
|
|
|
при постоянной силе процента
A Pe (t2 t1 ) P(1 i)t2 t1 . |
(3.5) |
Пример 3.1. Найти накопленную стоимость 150 у. д. е. за 1,5 года при постоянной силе процента 
0,175 в год. Найти годовую процентную ставку, соответствующую данной силе процента.
Решение: По формуле (3.5)
A |
150 exp(0,175 |
1,5) 195,03. |
По формуле (3.1) |
i exp(0,175) |
1 0,19. |
13
Пример З.2. Накопление происходит при переменной силе процента,
определяемой формулой
(t) a bt
в год. Найти a, b , если известно, что сумма 100 у. д. е. даёт накопление
125 у. д. е. за 1,3 года, 175 у. д. е. за 2,5 года.
Решение: Согласно формуле (3.4),
|
|
1,3 |
|
|
|
bt 2 |
|
1,3 |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
125 |
100 exp |
(a bt)dt 100 exp (at |
|
) |
|
|||||
0 |
|
2 |
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 exp(1,3a |
1 |
b 1,32 ), |
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
175 |
100 exp(2,5a |
|
1 |
b 2,52 ). |
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Логарифмируя полученные равенства, имеем
n1,25 |
1,3a 0,845b, |
|
n1,75 |
2,5a 3,125b. |
|
Решая систему, получим |
a |
0,53; b 0,222, |
то есть (t) 0,053 |
0,222t . |
|
Пример 3.3. Процентная ставка в год равна 15 %. Найти эквивалентную
ей годовую процентную ставку, конвертируемую ежеквартально.
Решение. Воспользуемся формулой (3.3) при р = 4:
i(4) (1 0,15) 14 1 4 (1,036 1) 
4 0,14.
Пример 3.4. При i 0,25 найти, эквивалентную процентную ставку,
конвертируемую раз в 30 дней.
14
Решение: Согласно формуле (3.2),
|
|
30 |
|
|
|
365 |
30, |
|
||
1 0,25 |
(1 |
|
|
|
i |
|
) |
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
365 |
|
30 |
365 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
365 |
|
|
i30365 |
(1 |
0,25) |
365 |
1 |
|
|
0,23. |
|||
|
|
30 |
||||||||
Если известна сила процента (t) ,то текущая или дисконтированная стоимость P накопленного капитала A находится по формуле
t
P A 
e 0
(t )dt
, |
(3.6) |
дисконтирующий множитель
t
V (t) e 0
(t)dt
. |
(3.7) |
Если сила процента постоянна, то есть (t) |
, то |
|||
P A e |
t |
A |
, |
|
|
(1 i)t |
|
||
|
|
|
(3.8) |
|
V (t) |
|
1 |
|
(1 d )t e |
t , |
|
|
|
|
(3.9) |
|||
|
|
i)t |
||||
(1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
где i – процентная ставка; |
d – учётная ставка в единицу времени. |
|||||
Довольно часто в высшем финансовом анализе используется модель силы процента, определяемая формулой Студли:
15
(t) p |
s |
|
|
|
|
. |
(3.10) |
||
1 rest |
||||
|
||||
|
|
|
Формула (3.10) обладает тем замечательным свойством, что дисконтирующий множитель V (t) равен среднему взвешенному двух дисконтирующих множителей с постоянной силой процента:
V (t) |
|
1 |
|
e |
( p s)t |
r |
e |
pt . |
(3.11) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 r |
|||||
1 |
|
r |
|
|
|
|
|||
Пример 3.5. Пусть:
1.Сила процента равна 8 % в год.
2.Сила процента является кусочно-постоянной функцией:
0, 12, 0 t 5,
(t) |
0, 08, 5 t 10, |
0, 04, t 10,
в год.
Найти текущую стоимость суммы 750 у.д.е, накопленной за 20 лет.
Решение.
1. По формуле (3.8)
P 750
e 0,08t 750
e 0,08 20 151,42.
2. По формуле (3.6)
|
|
|
20 |
|
|
|
5 |
10 |
20 |
|
|
P |
|
750 exp |
|
(t)dt |
750 exp |
0,12dt |
0,08dt |
0,04dt |
750 exp |
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
5 |
10 |
|
( |
5 |
0,12 |
0,08 |
5 |
0,04 |
10) |
184,95. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|