Материал: 4437
Пример 1.1. Найти сумму процентов по кредиту 1 000 у. д. е. (условных
денежных единиц) на 36 дней при простой процентной ставке 8 % в год.
Решение: Исходя из экономического смысла задачи сумма процентов
S находится по формуле
S A P iPt, т.е. S 0,08 1000 
35365 7,67 (у. д. е.)
При решении этой задачи следует иметь в виду, что в финансовом
исчислении Запада расчётный год состоит из 365 дней, если не указано:
високосный год или нет.
Пример 1.2. Кредит 130 у. д. е. погашается суммой 150 у. д. е. за 25
дней. Найти простую полугодовую процентную ставку.
Решение: В данной задаче P |
130, A 150,t |
25 |
365. |
Тогда простая |
||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
годовая процентная ставка находится по формуле (1.3): |
|
|
||||||
io |
150 |
130 |
|
2,25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
130 |
25 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
365 |
|
|
|
|
|
Полугодовая процентная ставка
i |
1 |
i0 1,12 . |
|
2 |
|||
|
|
Пример 1.3. Найти текущую стоимость суммы 250 у. д. е.,
выплачиваемой через 2 года при простой процентной ставке 10% в год.
Решение: Исходя из формулы (1.2)
P |
|
250 |
|
208,33. |
|
|
|
||
|
|
|
||
1 |
0,1 |
2 |
|
|
Наряду с простой процентной ставкой, определяемой формулой (1.3), в
финансовом исчислении используется простая дисконтная ставка или учётная ставка, определяемая формулой
7
d |
A P |
|
|
|
|
. |
(1.4) |
||
At |
||||
|
||||
|
|
|
В терминах учётной ставки текущая и накопленная стоимости связаны соотношениями
|
|
|
P |
|
|
A(1 dt), |
(1.5) |
||
|
|
|
A |
|
|
P |
. |
(1.6) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 dt |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Связь между учётной и процентной ставками в единицу времени |
|||||||||
даётся формулами |
|
|
|
|
|
||||
i |
|
|
d |
|
|
|
, |
(1.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
d |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
d |
|
|
i |
. |
|
|
(1.8) |
||
|
|
|
|
|
|
||||
1 i |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 1.4. Дисконтировать 200 у. д. е. на 4 месяца при простой учётной ставке 7 % в год.
Решение: Согласно формуле (1.5)
P 200(1 0,07 
13 ) 195,33.
Пример 1.5. Вексель с номинальной стоимостью 200 у. д. е. под 12 %
годовых сроком на 70 дней продаётся банку с учётной ставкой 10 %
годовых через 30 дней после подписания векселя. Найти а) цену продажи;
б) норму прибыли (в год) продавца; в) норму прибыли (в год) банка.
Решение: Найдём фактическую стоимость векселя по формуле (1.1):
|
A |
200(1 0,12 |
70 |
) 204,6 . |
|
|
|
||||
|
|
|
365 |
|
|
Чтобы найти цену продажи, необходимо дисконтировать факти- |
|||||
ческую стоимость A |
по формуле (1.5): |
|
|||
P 204,6(1 |
0,1 40 |
365 |
) 202,36. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Норма прибыли, как известно, находится по формуле |
|||||
8
|
C Co |
100(%), |
(1.9) |
|
Cot |
||
|
|
||
|
|
|
|
где Co – начальная сумма; C – накопленная сумма, t – время |
|||
накопления. Тогда норма прибыли продавца |
|
||
n |
P1 |
200 |
100 |
202,36 200 |
100 14,34(%). |
||
200 |
30 |
200 |
30 |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
|
365 |
|
|
365 |
|
|
Норма прибыли банка
|
A P1 |
100 |
204,6 |
202,36 |
100 10,1(%). |
|
P |
40 |
202,36 |
40 |
|||
|
|
|||||
1 |
365 |
|
|
365 |
|
|
|
|
|
|
|
2.2. Сложные проценты Сложные проценты отличаются от простых, как известно, тем, что при
простой процентной ставке i в единицу времени накопление за n
единиц времени находится по формуле
A P(1 i)n . |
(2.1) |
Если простые процентные ставки в различные единицы времени
различны: i1 , i2 ,..., in |
то накопление за |
n единиц времени находится по |
формуле |
|
|
A P(1 i1 )(1 |
i2 )...(1 in ). |
(2.2) |
Формулы (2.1) и (2.2) описывают круг задач на сложные проценты,
то есть одна из величин находится, если заданы остальные. При этом дисконтирующий множитель V (n) имеет вид:
9
|
|
|
|
V (n) |
|
1 |
V n |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
i)n |
||||
|
|
|
|
(1 |
|
|
|||
где |
V |
1 |
–- дисконтирующий множитель за 1единицу времени. |
||||||
|
|
||||||||
1 i |
|||||||||
|
|||||||||
Пример 2.1. Фактическая простая процентная ставка на настоящее время составляет 12 % в год, но через 2 года она понизится до 5 % в год.
Найти накопление вклада 2 000 у. д. е. за 4 года.
Решение: Согласно формуле (2.2)
A |
2 000 (1 |
0,12)2 |
(1 |
0,05)2 |
2 765,95. |
Иногда в реальной практике деловой жизни используются так
называемые номинальные процентные ставки в единицу времени ih (t) на срок h от момента времени t . Величина ih (t) определяется так, что
фактическая простая процентная ставка на срок |
h равна h ih (t) , то есть |
A P(1 h ih (t)), |
(2.3) |
где P – начальный капитал; A – накопленный капитал.
Пример 2.2. Номинальная годовая процентная ставка на срок 3 дня
равна 10,8 % Найти накопление капитала 1 000 у. д. е.
Решение: По формуле (2.3) находим
A |
1 000 (1 |
3365 |
0,108) |
1 000,89. |
Определим коэффициент накопления. Для t2 t1 под величиной
A(t1,t2 ) (коэффициент накопления) будем понимать накопленную
стоимость единичной суммы за время t |
2 |
t |
от момента t |
1 |
. |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
||
Из определения |
A(t ,t |
2 |
) и i (t) следуют формулы |
|
|
|||
|
1 |
h |
|
|
|
|
|
|
10
A(t, t h) 1 h 
ih (t) ,
ih (t) |
A(t,t |
|
h) 1 |
|
|
|
|
. |
|
|
h |
|
||
|
|
|
|
|
Накопление капитала P находится по формуле
A P A(t1,t2 ). |
(2.4) |
При нормально функционирующей экономике выполняется принцип
согласованности, определяемый при to t1 t2 тождеством
A(t0 , t2 ) A(t0 , t1) 
A(t1, t2 ).
Пример 2.3. Коэффициент накопления определяется формулой
A(t1,t2 ) exp 0,09(t2 |
t1) |
|
||
в единицу времени – 1 год. |
|
|||
Найти: |
|
|
|
|
а) накопление суммы 250 у. д. е. от момента t |
3 на срок h 3 |
|||
(месяц); |
|
|
|
|
б) проверить принцип согласованности. |
|
|||
Решение: а) по формуле (2.4) находим |
|
|||
A(t0 , t1 ) |
exp 0,09(t1 |
t0 ) , |
(2.5) |
|
A(t1,t2 ) |
exp 0,09(t2 |
t1) |
, |
(2.6) |
A(t0 , t2 ) |
exp 0,09(t2 |
t0 ) . |
(2.7) |
|
Перемножая (2.5) и (2.6), получим |
|
|||
A(t0 , t1 ) A(t1, t2 ) exp |
0,09(t1 t0 ) 0,09(t2 |
t1 ) |
||
exp |
0,09(t2 t0 ) |
A(t0 , t2 ). |
|
|
11