Материал: 3082

16

0,2. Экономическая эффективность строительства каждой АЗС зависит от сочетания всех факторов и задана матрицей

3 4 12

A = 5 3 10 .

5 4 8

Дать рекомендации руководству фирмы по выбору строительства АЗС. Решение. В качестве «статистика» выступает руководство фирмы,

обладающее тремя стратегиями: А1, А2 и А3. Второй игрок «природы» П – комплекс всех факторов и условий, в которых будет функционировать АЗС. «Выигрышами» статистика будут затраты, связанные с реализацией стратегий А1, А2 и А3 и составляющие платежную матрицу (табл. 1.5).

Проведем исследование по различным критериям.

a1 = -3 · 0,3 – 4 · 0,5 – 12 · 0,2 = -0,9 – 2 – 2,4 = 5,3; a2 = -5 · 0,3 – 3 · 0,5 – 10 · 0,2 = -5;

a3 = -5 · 0,3 – 4 · 0,5 – 8 · 0,2 = -5,1;

a = max (-5,3; -5; -5,1) = -5 = a2, то есть оптимальная стратегия А2.

По Вальду оптимальной чистой стратегией будет А3, т. к. для нее достигается максимин

α = maxminaij max (-12; -10; -8) = -8.

17

называлась чистая стратегия А3, следовательно, ее и следует рекомендовать руководству фирмы.

18

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

2.1.Основные понятия

2.1.1.Теория массового обслуживания – область в прикладной математике, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно. Примером систем массового обслуживания (СМО) являются ремонтные мастерские, парикмахерские, билетные кассы, телефонные системы, автозаправочные станции, магазины и т. д.

Каждая СМО состоит из определенного числа обслуживающих единиц (станций, приборов, касс, устройств), которые называют каналами обслуживания. Каналами могут быть линии связи, точки обслуживания, продавцы и т. д. По числу каналов СМО подразделяют на одноканальные и многоканальные. Заявки поступаютс СМО, какправило, нерегулярно, случайно, образуя случайный поток заявок. В связи с этим СМО оказывается загружена неравномерно: 1) скапливается очень большое число заявок (они становятся в очередь или покидают СМО необслуженными) 2) СМО работает с недогрузкой или простаивает.

Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер. Экономически выгодным является тот вариант системы, при котором обеспечивается минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и от простоя каналов обслуживания.

2.1.2.Системы массового обслуживания делятся на два основных класса: СМО с отказами и СМО с ожиданием (очередью). В СМО с отказами заявка, поступившая в систему, когда все каналы заняты, покидает ее необслуженной. В СМО с ожиданием заявка встает в очередь на обслуживание, если все каналы заняты, при этом СМО с ожиданием подразделяются на разные виды, в зависимости от того, как организована очередь: с ограниченной или неограниченной длиной очереди, с ограниченным временем ожидания и т. д. В СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди заявка, попавшая в очередь, обслуживается обязательно.

19

Основными элементами СМО являются источники заявок, их входящий поток канала обслуживания и выходящий поток.

2.1.3. Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния S1, S2, S3, … можно заранее перечислить, а переход системы из состояния в состояние происходит мгновенно (скачком). Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Случайный процесс называетсямарковскимили случайным процессомбез последствий, если для любого момента времени т0 вероятностные характерстики процесса в будущем зависят только от того, когда и как система перешла в это состояние.

Многие процессы можно приближенно считать марковскими. Для анализа случайных процессов с дискретными состояниями используют геометрическую схему – граф состояний. Состояние системы изображают кружками (прямоугольниками), а возможные переходы из состояния в состояние стрелками (ориентированными дугами), соединяющими состояния.

Модель последовательности перехода состояний в виде графа представлена на рисунке 1.1.

S0, S1, S2, …, Sn – упорядоченное множество состояний системы; λij (ij = 0, 1, 2, …, n) - интенсивности потоков событий

Рисунок 2.1 – Модель последовательности перехода состояний

2.1.4. Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.

Частота появления событий или среднее число событий, поступающих в СМО в единицу времени, называется интенсивностью

20

потока λ. Интенсивность обслуживания заявок одним каналом при непрерывной его работе обозначается µ.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени, λ (t) = λ.

Поток событий называется потоком без последствий, если появление в потоке очередного события не зависит от того, когда появились в нем предшествующие события.

Поток событий называется ординарным, если вероятность появления более одного события за бесконечно малый промежуток времени ∆t является бесконечно малой величиной более высокого порядка (то есть события в потоке появляются поодиночке).

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен не имеет последствий.

2.1.5. Для простейшего потока случайных событий (заявок) перечислим наиболее общие показатели для СМО.

Время между двумя соседними событиями (заявками) распределено экспоненциально с плотностью вероятности:

(2.1)

где λ – параметр распределения (интенсивность потока).

Среднее значение интервала времени τ между соседними заявками (событиями) (α = σ = τ — математическое ожидание случайной величины λ):

1

(2.2)

Вероятность того, что число заявок, поступающих на обслуживание за промежуток времени продолжительностью t1, равно k, определяется по закону Пуассона: