Материал: 1944

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Раздел 22. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Случайные события и действия над ними

Событие – явление, которое может произойти или не произойти при осуществлении определенной совокупности условий.

Событие называется достоверным ( ), если оно обязательно произойдет в результате данного опыта. Событие называется невозможным (Ø), если оно заведомо не произойдет в результате данного опыта. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте. В противном случае события называются

совместными. Полная группа событий ( ) – это совокупность единственно возможных событий испытания.

Действия над событиями

Название

Теоретико-

операции

Определение множественная трактовка операций

Сумма

Событие C состоит в наступлении

C A B

хотя бы одного из событий (или

или B, или A и B вместе)

Произве-

Событие С состоит в совместном

дение

наступлении событий ( A и

C A B

одновременно)

Разность	Событие С означает, что происходит
C A B событие		A,	но	не	происходит	С
	событие B					С
					A	B
						B

Противо-	Событие С происходит тогда и
положное	только тогда, когда не происходит		A
событие	событие A
событие	событие A	A

С = A
С = A

104

Вероятность события

1) Классическое определение вероятности: Р(А) m,

здесь m число случаев, благоприятствующих событию A; n общее число равновозможных и попарно несовместных случаев.

Следствия. 0 Р(А) 1; Р(Ø)=0; Р( ) 1, P A 1 P A .

2) Статистическое определение вероятности.

m – относительная частота события, где m число случаев

наступления события (частота); n общее число испытаний. Статистической вероятностью события A в данном испытании

называют число Р(А), около которого колеблется относительная частота события A при достаточно большом числе испытаний.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теоремы сложения

Теоремы умножения

1.Если A, B несовместные события,

1.Условная вероятность P (B):

тоP(A B) P(A) P(B)

вероятность события

B при

2. Если A, B совместные события, то

условии, что произошло событие

P(A B) P(A) P(B) P(AB)

3. Если A1,A2,...,An

образуют полную

P (B)

P(AB)

группу событий, то

P(A)

2. Если A, B – зависимые

P(A1) P(A2) ... P(An ) 1,

4. Если A1,A2,...,An – совместные

события, то

P(AB) P(A) PA (B) P(B) PB (A)

события, то

3. Если A, B – независимые

P(A1 ... An ) 1 P

... An

события, то P(AB) P(A) P(B)

1 P(

...

)

Следствия из теорем сложения и умножения

Формула полной вероятности

P(A) P(Hi ) PHi (A) P(H1) PH1 (A) ... P(Hn ) PHn (A),

i 1

где H1,H2,...,Hn

гипотезы

(попарно несовместные

события,

, Hi H j Ø i j).

образующие полную группу, т.е. Hi

i 1

Формула Байеса PA(Hi ) P(Hi ) PHi (A)

P(A)

105

Последовательность независимых испытаний

Pn(k) вероятность появления события A k раз в n независимых испытаниях

Точная формула

Локальная формула

Формула

(формула Бернулли)

Муавра–Лапласа

Пуассона

Условия применения формул

n невелико

n велико;

np 10

n велико;

np невелико

Формула

P (k)

x ,

npq

Р k Сk рk qn k,

где x 1

e 2 –

где P(A) p,

P (k)

функция Гаусса,

q 1 p,

где

значения которой

табулированы (прил. 1),

( x) (x),

k! n k !

npq

Интегральная теорема Лапласа

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0< p<1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближённо равна

P(k1,k2) Ф(x ) Ф(x ),

	1			x		z2

здесь	Ф(x)			e	2

		2
			0

dz функция Лапласа, значения которой

табулированы (прил. 2), Ф( x) Ф(x); x k1 np, x k2 np. npq npq

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в схеме независимых испытаниях:

	m			n

P		p				0.
			2Ф		,
	n			pq

106

Формы закона распределения случайной величины

Случайная величина (СВ) – величина, которая в результате испытания может принимать то или иное значение, заранее неизвестное. Дискретная случайная величина (ДСВ) принимает конечное или счетное множество значений, непрерывная случайная величина (НСВ) принимает значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Закон распределения СВ – любое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить вероятности произвольных событий.

СВ

Форма закона распределения СВ

Ряд распределения

Функция распределения

F x P X x , x .

…

Геометрическая

ДСВ

…

интерпретация

где pi P X xi ; pi 1

X<x

i 1

Плотность распределения

Свойства F(x)

вероятностей

1. F 0;

f (x) F (x)

2. F 1;

Свойства f(x):

3. 0 F x 1, x ;

1. Неотрицательность:

f x 0

4. F x – неубывающая

функция, т.е.

2.Условие нормировки: f x dx 1

x1, x2 : x1

x2 F x1 F x2

5. P(a x b) F(b) F(a)

График F(x) для НСВ

3. P(a x b) f (x)dx

F(x)

НСВ

4. Связь с функцией распределения:

F(x)

f (x)dx.

f(x)

График F(x) для ДСВ

F(x)

P(a<x<b)

F(x)

a b

107

Числовые характеристики случайной величины

Числовые

Дискретная

Непрерывная

характерис-

случайная величина

тики

Матема-

x f x dx,

MX xi pi,

тическое

i 1

где f x – функция

ожидание

где pi P X xi

плотности

DX M X MX 2 или DX MX2

MX 2.

Дисперсия

x2 f x dx

x dx

DX x2 p

x p

i i

i 1

Среднее

квадратичес-

кое откло-

нение

Свойства числовых характеристик

Математическое ожидание

Дисперсия

MC C,

где С – константа;

DC 0, где С – константа;

M CX CMX;

D CX С2DX ;

3. M X Y MX MY;

D X Y DX DY для

M X Y MX MY для

независимых случайных величин.

Моменты случайных величин

Моменты

ДСВ

НСВ

Начальный

k M(X k )

момент

k xik

f (x)dx

порядка k

Цент-

M(X MX)k ,A

– коэффициент асимметрии

ральный

момент

– коэффициент эксцесса («островершинности»)

порядка k

(xi MX)k pi

k (x MX)k f (x)dx

108

Источник: https://studfile.net/preview/16408001/

Смотрите также:



ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!_Лабораторные_работы_1_сем_ОУТС
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
.Юридический позитивизм как теория права.