Материал: 1549
ZL2 +j0 |
ZС2 -j0 |
|
ZLЭ +j |
R2 |
R2 |
|
R2 |
а) 0 |
б) |
в) р2 «слева» |
|
|
Рисунок 4.20 |
|
|
На частоте, близкой к резонансной р2 |
1 |
, при подходе «слева» |
|
|
|||
|
|
L2 C2 |
|
сопротивление параллельного контура носит индуктивный характер и велико по значению (см. рисунок 4.2б).
Векторная диаграмма для схемы в) рисунка 4.20 имеет вид:
ŮВХ
İ (определяется сопротивлением ŻLЭ)
K( р2) = 90
ŮВЫХ = İ·R2
Аналогично можно показать, что при подходе к резонансной частоте «справа» K( р2 )= +90 . Ожидаемый вид ФЧХ показан на рисунке 4.21.
Ќ |
|
|
+90 |
0 |
|
|
р= р2 |
|
-90 |
|
Рисунок 4.21 |
4.2 Получение и анализ операторных функций цепи
Выполнение этого раздела требует знаний по определению схемных функций в операторной форме для простых и сложных цепей, в том числе с
31
зависимыми источниками, а также знаний свойств операторных входных и передаточных функций.
4.2.1 Вывод выражений схемных функций
Заметим, что нет никакой разницы в способах получения схемных функций в комплексной и операторных формах. Операторные функции формально получаются из комплексных заменой j на оператор p:
Z |
L |
(p) pL , |
Z |
C |
(p) |
1 |
, |
T(p) T( j ) |
|
j =p |
|
|
|||||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
pC |
|
|
|
j p |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение схемных функций нагрузочных цепей проводят любым удобным способом.
Пример 7.
Для схемы рисунка 4.22а получить выражения ZВХ(p) и K(p).
|
|
|
|
|
IВХ |
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х.х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х.х. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UВХ |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
UВЫХ |
|
|
|
|
UВХ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ZЭ |
UВЫХ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 4.22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Z |
|
|
(p) |
UВХ |
R |
|
|
|
Z |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ВХ |
|
|
|
1 |
|
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
IВХ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
K(p) |
|
UВЫХ |
|
|
|
|
|
ZЭ |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
UВХ |
|
R1 ZЭ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(pL |
|
1 |
|
|
) R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
где Z |
|
|
pC |
2 |
|
|
|
(p2 LC 1) R |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 LC pCR 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
pL |
|
|
|
|
R 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
pC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ZВХ (p) |
|
p2 LC(R |
1 |
R |
2 |
) pCR |
R |
2 |
|
(R |
1 |
R |
2 |
) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 LC pCR |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p2 LC 1) R |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p2 LC(R |
1 |
R |
2 |
) pCR |
R |
2 |
(R |
1 |
R |
2 |
) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(4.1)
(4.2)
32
Указание: при работе с четырехполюсниками (таблица 2.1 Сх. 3 – Сх. 6, Сх. 11 – Сх. 14) параметр m в вывод схемных функций не включать, введя обозначения L1L2C1C2.
Определение схемных функций для цепей с зависимыми источниками удобно проводить с использованием метода узловых потенциалов (МУП), записанного в типовой форме.
Для схемы с тремя узлами, кроме опорного:
U Y U |
20 |
Y U |
30 |
Y J |
|
|
||||
10 |
11 |
|
12 |
|
13 |
11 |
|
|
||
U10 Y21 |
U20 Y22 |
U30 Y23 |
J22 |
|
(4.3) |
|||||
U10 Y31 |
U20 Y32 |
U30 Y33 |
J33 |
|
|
|||||
|
|
|||||||||
где Ui0 – узловое напряжение i-го узла, представляет разность потенциалов i-го и опорного (нулевого) узлов
Ui0 i 0 i , так как i 0 ,
откуда двойное название: метод узловых потенциалов или метод узловых напряжений;
Yii – собственная проводимость i-го узла, то есть сумма проводимостей всех ветвей, подходящих к i-му узлу;
Yij – взаимная проводимость между i-ым и j-ым узлами, то есть сумма проводимостей всех ветвей между i-ым и j-ым узлами; в отличие от собственной проводимости входит в систему со знаком минус;
Jii – задающий ток i-го узла, то есть алгебраическая сумма всех токов источников, подключенных к i-му узлу (направленные к узлу учитываются со знаком плюс, от узла - со знаком минус).
Пример 8.
Получить выражения K(p) и ZВХ(p) для схемы рисунка 4.23а.
|
|
C |
|
pC |
|
|
|
|
|
|
|
IВХ |
|
R |
1 |
g 1 |
2 |
|
|
R |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
UR |
|
JПР |
UR |
JЗ |
|
|
L |
U20 |
||
|
|
|
U10 |
||
UВХ |
|
|
UВЫХ |
L |
|
|
|
|
|||
|
|
|
JЗ=SUR |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
а) |
|
б) |
Рисунок 4.23
33
Решение.
Для реализации МУП на вход подключим пробный источник JПР, обозначим узлы, элементы схемы опишем проводимостями в операторной
форме и учтем, что теперь UВХ = U10, а UВЫХ = U20 (рисунок 4.23 б). Запишем типовую систему (4.3) для схемы на рисунке 4.23 б:
|
U10 (g pC) U 20 ( g pC) J ПР |
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
U |
|
( g pC) U |
|
(g pC |
) J |
|
|
10 |
20 |
|
|||||
|
|
|
pL |
З |
|||
|
|
|
|
|
|
||
Выразим зависимый источник через узловые напряжения
JЗ = S UR = S (U10-U20),
подставим в (4.4) и приведем подобные по узловым напряжениям:
|
U10 (g pC) U20 (-g - pC) J ПР |
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
U ( g pC S) U |
|
(g pC |
S) 0 |
|
||
|
|
|||||
10 |
|
20 |
|
pL |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
(4.4)
(4.5)
Для нахождения схемных функций систему удобнее представить в матричной форме
|
g pC |
|
|
|
|
|
|
g pC |
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
ПР |
(4.6) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
g pC S g pC |
|
|
S |
|
|
|
U 20 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||
pL |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
По правилу Крамера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
JПР |
g pC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0 g pC |
|
1 |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pL |
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
10 |
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПР |
|
Y |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
g pC |
|
JПР |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
U |
|
|
|
|
g pC S |
0 |
|
|
|
J |
|
|
12 |
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПР |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где Y – определитель матрицы проводимостей,11, 12 – алгебраические дополнения.
Искомые схемные функции имеют вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g pC |
1 |
|
S |
|
|
|
|
|
|
(p) |
|
U |
ВХ |
|
U |
|
pL |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Z |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
11 , |
|||||||||
ВХ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
IВХ |
JПР |
|
|
Y |
|
|
|
|
|
Y |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
K(p) |
UВЫХ |
|
|
U20 |
|
|
g pC S |
|
|
12 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
11 |
||||||||||
|
|
|
|
UВХ |
U10 |
|
|
g pC |
|
|
S |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pL |
|
|
|
|
|||
и не зависят от значения пробного источника.
34
После подстановки Y и преобразований получим
Z |
|
(p) |
p 2 LC pL(g S) 1 |
, |
||
ВХ |
pC g |
|
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
p2 LC pL(g S)
K(p) p2 LC pL(g S) 1 .
(4.7)
(4.8)
Указание: все полиномы в схемных функциях должны быть упорядочены по убывающим степеням p, как это сделано в выражениях (4.1), (4.2), (4.7) и (4.8).
Схемные функции транзисторов с обобщенной нагрузкой (см. рисунок
3.1) выводятся по методике, использованной для вывода выражений (4.7) и
(4.8).
Указание: при выводе схемных функций для модели МЗ точку соединения элементов СЗИ и RЗ обозначить как узел (так называемый, устранимый узел), чтобы имелась возможность выразить управляющее напряжение UЗ через узловые напряжения.
4.2.2 Проверка и анализ выражений схемных функций
Полученные схемные функции должны быть проверены разными способами: по размерности, на крайних частотах, на соответствие степеней полиномов порядку цепи, по соотношению минимальных степеней, по соотношению максимальных степеней полиномов числителя и знаменателя функции.
Проверка по размерности. Все слагаемые одного полинома должны иметь одинаковую размерность, а размерность для функции в целом должна соответствовать ее физическому смыслу. При проверке учитываем, что R и
pL имеют размерность [Ом], а g, S и pC имеют размерность |
|
1 |
или [См]. |
|
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
Ом |
|
|
Пример 9.
Выражение (4.2) проверить на соблюдение размерности. p2 LC pL pC – не имеет размерности;
в числителе (4.2) – полином, все слагаемые которого имеют размерность [Ом], аналогично для полинома знаменателя в (4.2). K(p) – безразмерная функция.
Проверка на крайних частотах. Значения, полученные из выражений для схемных функций при p=0 и p= должны соответствовать результатам для схем при =0 и = , так как p = j .
35