Материал: 1549

Использование нормировки снимает эту проблему. Кроме того нормировка приводит к выявлению общих свойств, присущих данной схеме: если сохранить соотношение параметров L, C, R и частоты неизменным, то схемная функция не изменится при любых значениях перечисленных параметров.

Все нормированные значения Н, RН, gН, SН, LН, CН - безразмерные. Нормировка функций получается при подстановке в выражения для

функций вместо L, C, R, g, S их численных нормированных значений; при этом оператор «p» просто переобозначают как «pН».

Для четырехполюсников нормированные параметры указаны в таблице 2.1, для двухполюсников и транзисторов сначала следует вычислить нормированные значения по формулам (4.13), а затем подставить в выражения функции.

Пример 14.

Пусть после нормировки параметры имеют значения: LН=0,1, СН=0,5, gН=0,4, SН=0,1. Получить выражения нормированных функций по (4.7) и (4.8).

Решение.

где Z0 =0,1 – масштабный коэффициент, равный отношению коэффициентов при старших степенях полиномов;

41

где масштабный коэффициент K0 получился равным единице.

Обратите внимание, во всех полиномах коэффициент при высшей степени (pН) должен быть единичным.

Переход от K(p) к KН(pН) никак не влияет на численные значения функции для конкретной частоты, так как K(p) исходно безразмерная функция. Переход от Z(p) к ZН(pН) соответствует переходу от значений в омах к безразмерным, поэтому для определения значения Z на конкретной частоте следует ZН для этой частоты умножить на R0.

Z( 1 ) ZН ( 1Н ) R0

Убедиться в этом легко на простейших примерах.

Показать, что KН (pН ) K(p) , а ZН (pН ) Z(p) . R 0

Решение.

Используем выражения (4.12) и (4.13)

4.4 Определение P, RP и полосы пропускания

Определение резонансной частоты P и резонансного сопротивления

RP проводится на основе нормированного выражения ZН(pН) для нагрузки. В соответствии с определением фазового резонанса на частоте Р входное сопротивление чисто активно и равно RР:

ZН (pН ) ZН ( j Н ) Re[ZН ] j Im[ZН ], Im[ZН ] 0 НР ,

Полоса пропускания цепи для четырехполюсников определяется по передаточной функции нагрузки, а для двухполюсников по входной после

42

нормировки. Обозначим нормированную функцию, по которой рассчитываем граничные частоты, в общем случае, как TН(рН).

Порядок определения полосы:

1)TH (pH ) TH ( j H ) ;

2)определяем АЧХ как TH ;

3)определяем наибольшее значение АЧХ - TmaxH :

для двухполюсников это наибольшее из резонансных сопротивлений; для четырехполюсников, если в передаче сигнала участвуют разнотипные

5) указываем полосу пропускания в нормированных и ненормированных значениях и обозначаем ее на графиках соответствующих АЧХ.

4.5 Полюсно-нулевое изображение (ПНИ) функции и работа с ним

Расчет нулей и полюсов функции ведется на основе нормированных выражений, приведенных к типовому виду (см. выражения (4.14) и (4.15)).

Для упрощения и наглядности записи обозначение pH заменим на p. Нули функции – корни полинома числителя, полюса функции – корни

полинома знаменателя.

где p0i – нули функции, pпi – полюса функции.

Так как нули и полюсы – корни полиномов с вещественными коэффициентами, то p0i и pпi – простые или кратные корни, вещественные или попарно комплексно-сопряженные.

Изображение нулей и полюсов на комплексной плоскости называется ПНИ функции или картой нулей и полюсов. ПНИ позволяет вычислять значения АЧХ и ФЧХ для заданных нормированных частот и, в частности, для Н=0 и Н= ; определять качественный характер АЧХ; оценивать устойчивость цепи и фазоминимальность (или фазонеминимальность).

Расчет значений АЧХ и ФЧХ по ПНИ

Определение частотных характеристик связано с действием на цепь гармонического сигнала, следовательно, pH j H , а операторная функция

43

становится комплексной TH (pH ) TH ( j H ). В дальнейших записях для

простоты индекс, обозначающий нормированные значения, опускаем.

В выражении (4.16) значение в каждой скобке, в общем случае,

где argT0 = 0, если T0 – положительное число, argT0 = , если T0 – отрицательное число.

Для расчета по ПНИ обычно используют графо-аналитический подход, то есть значения модулей Mi и Пi, а так же углов i и i измеряют непосредственно по карте нулей и полюсов, а затем подставляют в выражения (4.18) и (4.19) для вычисления значений АЧХ и ФЧХ в заданной точке Н.

Указания: 1) масштаб по осям абсцисс и ординат карты нулей и полюсов должен быть одинаков;

2)длины модулей следует измерять в масштабных единицах осей комплексной плоскости;

3)углы измеряются относительно направления положительной вещественной оси: угол, отсчитываемый против часовой стрелки, имеет знак «+», по часовой – знак

«-»;

4)если один или несколько корней отличаются от остальных на порядок и более, то модуль и аргумент для них определяются путем расчета.

Пример 16.

Операторной функции T(p) соответствуют следующие значения нулей и полюсов:

p01= +2; p01,2 = j 2,5; pП1,2 = -0,6 j 1,5; pП3 = -420.

Масштабный коэффициент Т0 = 75. Вычислить значения АЧХ и ФЧХ для частоты 0,5.

Примечания: 1) в условии примера, на рисунке 4.28 и в выражении (4.16) значения p и являются нормированными, значок «н» опущен, чтобы не усложнять запись;

44

2)нуль справа (p01 = +2) для устойчивых цепей возможен только в передаточной функции K(p), если схема фазонеминимальная.

Решение.

ПНИ для заданных условий показано на рисунке 4.28. Построение выполнено в соответствии с указаниями. Каждой скобке в выражении (4.16) соответствует вектор, проведенный от нуля (полюса) в точку p j 0,5 ; для

которой проводится вычисление АЧХ и ФЧХ.

Измеренные значения для модулей и углов сведены в таблицы на рисунке 4.28, для полюса pП3 очевидно без измерения, что модуль П3 420,

угол З 0 . Так как Т0 = +75, то Т0 = 0 .

В соответствии с выражениями (4.18) и (4.19)

T (0,5) 0 (166 90 90 ) ( 59 74 ) 151 .

45