Материал: 1360

отсчёта. Рассматриваемая балка разбита на 3 конечных элемента с полным числом степеней свободы m = 8. Поэтому в общей системе отсчета имеем 8 узловых перемещений: ∆1 , . . . , ∆8 . Перемещения и изгибающий момент в сечении k определяем по формулам (3.18) и (3.23), изменив в них узловые перемещения в местной системе нумерации узловыми перемещениями, записанными в общей системе отсчёта:

M(х) = - EJ [∆3N˝1(x) + ∆4N˝2(x) + ∆5 N˝3(x) + ∆6 N˝4(x)].

Рис. 3.5. Общая (а) и местная (б) системы нумерации узлов и степеней свободы 2-го конечного элемента

Если учесть, что функции формы N1(x),..., N4(x) описываются выражениями (2.3), представляющими собой кубические полиномы, то эпюра прогибов балочного элемента будет иметь вид кубическойпараболы. Соответственно эпюра углов поворота θ будет иметь очертание квадратной параболы в пределах одного конечного элемента. Вторые производные функций формы N˝1(х),...,N˝4(x) описываются выражениями (2.22). Они являются линейными функциями координаты х, следовательно, линейной в пределах одного конечного элемента будет и зависимость М(х). Это приводит к тому, что очертание эпюры изгибающих моментов в пределах

46

одного конечного элемента будет всегда прямолинейным независимо от вида нагрузки на балку. В этом заключается один из главных недостатков МКЭ.

Чтобы преодолеть этот недостаток и построить более точную эпюру М, обычно уменьшают размеры одного конечного элемента,одновременно увеличивая общее число элементов в конструкции.

47

4.ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА БАЛОК

4.1.Общая схема алгоритма расчета МКЭ

Представим алгоритм МКЭ в форме метода перемещений основными блоками.

1.Задание исходной информации, которая должна включать:

-количество элементов и узлов;

-координаты узловых точек конструкции в общей системе координат;

-взаимное расположение конечных элементов и узлов в местной

иобщей системе координат;

-внешние узловые, поверхностные и объемныеИсилы;

-условия опирания конструкции (граничные условия);

-геометрические и жесткостные параметры каждого элемента конструкции. Д

2.Построение матрицы жесткости конечного элемента в местной системе координат. А

3.Формирование матрицы преобразования координат для перехода от местной системы координатбк общей.

4.Определение матрицы жесткости общей конструкции в общей системе координат. и

5.Приведение поверхностных и объемных внешних сил, действующих на элементС, к стат чески эквивалентным узловым силам (формирование локального вектора узловых сил).

6.Определение суммарных узловых сил в каждом узле всей конструкции (формирование глобального вектора узловых сил).

7.Учет граничных условий.

8.Определение узловых перемещений конструкции в общей системе координат.

9.Определение внутренних узловых усилий и напряжений в отдельных элементах конструкции.

Решение приведенных ниже задач выполняется по описному выше алгоритму. В отдельных задачах некоторые пункты могут не использоваться.

48

4.2. Расчет статически определимой балки МКЭ

Рассмотрим простую шарнирно опертую балку постоянного сечения (ЕJ = const) длиной l = 10 м, загруженную равномерно распределенной нагрузкой q = 1 кН/м (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Расчетная схема

Требуется определить узловые перемещения и построить эпюру прогибов и изгибающих моментов. И

4.2.1. Расчет балки, представленной одним конечным элементом

узлами, с 4 степенями свободы (по двеДв каждом узле) и с заданным направлением глобальныхбосей (рис. 4.2).

1. Рассмотрим балку в видеАодного конечного элемента с двумя

иР с. 4.2. Конечный элемент балки

2. Локальная матрица жесткости имеет размерность 4×4 (коли-

3. Коэффициенты матрицы жесткости определяются по формуле

(2.23):

kij = ∫0lEJ × Ni" (x) × N"j (x)dx ,

49

где Ni" (x), N "j (õ) – вторые производные функций формы в i-м и j-м

единичных состояниях (i, j =1,…,4), определяемые выражениями

(2.19).

Функция прогибов задается выражением (2.2):

w(x) = N1(x)∆1 + N2(x)∆2 + N3(x)∆3 + N4(x)∆4 ,

где Ni(x) –координатные функции, определяемые выражениями (2.3);

∆ i – неизвестные узловые перемещения (i = 1,…,4).

Рассмотрим вычисление одного из коэффициентов локальной

4. Поскольку конструкция представлена одним конечным элементом, глобальная матрица жесткости совпадает с локальной:

[K ]= [k ].

5.Вектор узловых сил имеет размерность 1×4 (совпадает с числом степеней свободы балочного элемента):

50