Документ: 1253, страницы 66-70 | База студенческих работ

)(z2

66

Случайные величины z1 и z2 некоррелированы и подчиняются гаус-

совскому закону распределения. Следовательно, эти величины статистически независимы. Некоррелированность вытекает из приближенного равенства ну-

лю смешанного центрального момента (z1 z1 z2 ) . Действительно, этот момент сводится к интегралу от произведения двух колеба-

ний s1 (t) и s2 (t) , сдвинутых по фазе на

2, при этом интеграл практически

равен нулю.

Совместная условная плотность вероятности случайных величин z1 и

z2 с учётом их независимости определяется выражением

w(z1, z2 | , A)

w(z1 | , A)w(z2 | , A)

1

(z

z )2

(z

2

z

2

)2

exp

1

.

2

z

Полагая на основании выражения (2.53)

z1

Z cos Q, z2

Z sin Q, пе-

рейдём к новым переменным двухмерной плотности и вероятности

w(Z,Q |

, A)

w(z , z

|

, A)

(z1, z2 )

,

2

1

(Z,Q)

где

(z1, z2 )

cos Q

sin Q

Z

(Z , Q)

Z sin Q

Z cos Q

есть якобиан преобразования. После преобразования получим

w(Z,Q |

, A)

Z

exp(

1

(Z 2

A2 E2

2

z

2AEZ cos(

Q))) .

Одномерная условная плотность вероятности w(Z | , A)

вычисляется

путём интегрирования правой части полученного выражения по Q :

2

Z

AEZ

w(Z |

, A)

w(Z , Q | , A)dQ

I0

2

0

z

exp

Z 2

A2 E2

.

2

z

Произведя усреднение по параметрам

и A с учётом плотности веро-

ятности w(

, A), найдём искомую плотность вероятности величины Z :

w(A)

			67
w(Z )	1	2	d w(Z \| , A)w( A)dA.

	2
	2	0	0
		0	0

Вид этой плотности вероятности меняется в зависимости от заданной плотности вероятности w( A), поэтому целесообразно рассмотреть частные случаи:

1) при (A 1) (сигнал со случайной начальной фазой и неизвестной амплитудой)

w	(Z )	Z	exp	Z 2	E2	I		ZE	, Z 0	;	(2.63)
w	(Z )		exp			I	0		, Z 0	;	(2.63)
с.п		2		2	2		0	2
		2		2	2			2
		z			z			z

Рисунок 2.16 – Кривые условных плотностей вероятности wп (Z ) и wс.п (Z) при обнаружении сигнала со случайной начальной фазой.

Рисунок 2.17 - Семейство характеристик обнаружения.

2) при w( A)

2Aexp( A2 )

- рэлеевском распределении (сигнал со

случайными амплитудой и начальной фазой)

wс.п

(Z )

2Z

exp

Z 2

, Z 0

;

2

E2

2

E2

z

3) при w(A)

(A) (сигнал отсутствует)

w (Z )

Z

exp

Z 2

, Z

0 .

п

2

z

68

Здесь при интегрировании использована табличная формула (2.58). Кривые условных плотностей вероятности wп (Z ) и wс.п (Z) при обнаруже-

нии сигнала со случайной начальной фазой приведены на рисунке 2.16. Заштрихованные площади под кривыми справа от прямой, проходящей через

пороговое значение Zп , соответствуют вероятностям ложной тревоги F и правильного обнаружения D .

Рисунок 2.18

Введём переменную

Z z и относительный порог hп Zп z .

Тогда с учётом параметра обнаружения q						2E N0 (отношения сигнал/шум)
получим:
				q	2
D	I0 (	q ) exp		q		d ;

					2
	hп				2
	hп
F	exp	2 2 d	exp h2			2 .
					п
	hп
Приведённые соотношения определяют семейство характеристик обна-

ружения, показанных на рисунке 2.17 (штрихпунктирные кривые).

При сигнале со случайной амплитудой и начальной фазой условные вероятности D и F определяются площадями, заштрихованными под кривыми

wс.п (Z) и wп (Z ) на рисунке 2.18. Эти вероятности вычисляются по следующим формулам:

				h2	2
D	wс.п (Z )dZ	exp		п		;	(2.64)
D	wс.п (Z )dZ	exp	1		q 2	;	(2.64)
	hп		1		q 2
	hп
F	wп (Z )dZ	exp hп2 2 .					(2.65)
	hп

69

Исключив величину hп из соотношений (2.64) и (2.65), получим

D F(1 q2) 1

Кривые обнаружения, соответствующие данному случаю, приведены на рисунке 2.17 (сплошные). Для сравнения на этом же рисунке показаны кривые обнаружения сигнала с полностью известными параметрами (штриховые). Из анализа кривых можно сделать вывод о том, что для обнаружения

сигнала со случайными параметрами требуется большая энергия, чем для обнаружения полностью известного сигнала при условии одинаковых качественных показателей обнаружения. Кривые обнаружения для сигнала со случайной амплитудой при больших значениях вероятности D смещаются вправо особенно сильно, что объясняется возможностью значительных замираний сигнала в канале распространения и снижением качества обнаружения. Вместе с тем при малых значениях D (менее 0,2) из-за случайного характера амплитуды возможно некоторое улучшение качества обнаружения по сравнению с сигналом, имеющим известную амплитуду и случайную начальную фазу.

2.4Обнаружение пачек импульсов

2.4.1 Отношение правдоподобия для сигналов в виде флуктуирующей и нефлуктуирующей пачек радиоимпульсов со случайными начальными фазами

Модель сигнала в виде некогерентной пачки радиоимпульсов задана выражением (1.21). Начальные фазы радиоимпульсов i i , i 1,..., k (k- число импульсов в пачке), считаем независимыми случайными величинами,

каждая из

которых равномерно

распределена на

интервале

, , т.е.

w

i

1

2

,

i

1,..., k . Совместная плотность вероятности совокупно-

сти независимых случайных величин

1,...,

k определяется выраже-

нием

k

w

w(

i ).

(2.66)

i

1

Как и в п. 2.3.3, по формуле косинуса суммы приводим выражение

(1.11) к следующему виду:

k

s

t,

s1i

t

cos

i

s2i

t sin i ,

(2.67)

i 1

где

s1i

t

S0i t cos

0t

i

t

,

s2i

t

S0i

t

sin

0t

i t .

70

Условное значение корреляционного интеграла можно записать на основе выражения (2.67):

			k
z r(t) \|	r(t)s(t,	)dt	(z1i cos i z2i sin i ) ,	(2.68)
			i 1
где интегралы взяты без конкретизации пределов и принято
z ji	r(t)s ji (t)dt, j	1, 2;i	1,..., k .

Обозначив

z12i z22i Zi ,

приведём выражение (2.68) к виду

	k
z(r(t) \| )	Zi cos( i Qi ).	(2.69)

i 1

Если пачка состоит из неперекрывающихся импульсов, то энергия пачки определяется суммой энергий импульсов. При малом изменении амплиту-

ды и фазы	i (t)	в пределах импульса за время периода колебаний высокой
частоты можно записать:
	k			k	1	S 2	k
E(	)	E (	i	)			(t)dt	E	,	(2.70)
E(	)	E (		)			(t)dt	E	,	(2.70)
		i			2	0i		i
	i 1			i 1	2		i	1

где энергия i -го импульса Ei не зависит от случайной начальной фазы i . Используя общую формулу (2.49), с учётом выражений (2.66), (2.69),

(2.70) представим отношение правдоподобия в виде

k

Ei

1

2

2Zi

l(r(t))

exp

cos

Q

d

.

i

N0

2 0

N0

i

i 1

На основе формулы (2.56) после интегрирования из полученного выражения следует

k		Ei		2Zi
l(r(t))	exp		I0		.	(2.71)
		N0		N0
i 1

Выражение (2.71) показывает, что отношение правдоподобия пачки

неперекрывающихся импульсов со случайными независимыми начальными фазами определяется произведением отношений правдоподобия для каждого импульса пачки.

Вычислим отношение правдоподобия для сигналов в виде пачек флуктуирующих радиоимпульсов со случайными начальными фазами. Ограничимся рассмотрением случая независимых флуктуаций, когда модель сигнала

Материал: 1253

Смотрите также: