Документ: 1253, страницы 96-100 | База студенческих работ

												96
величины	i	взаимно некоррелированны и имеют дисперсии											n2	2	1 2 .
	i												i	п
С учётом указанного запишем плотность вероятности:
w 0 ,...,				2	2		m 1	2	1	2	m 2
					2					2
		m			п
			1							m
exp			1			1	2		2		2	.
exp	2	п2	1	2		1			0		i	.
									0		i
										i 1
Якобиан			преобразования							при переходе к переменным			n0 ,..., nm		равен
единице, поэтому

Рисунок 2.49.

w n0 ,..., nm	2	2	m 1 2	1	2	m 2

		п

	1		m			2	(2.104)
exp	1	1	2 n2	n	n	2	.


	2 п2 1 2		0	i	i 1
	2 п2 1 2		i 1

На основе выражения (2.104) запишем условные плотности вероятности, входящие в отношение правдоподобия (2.103). В результате придём к следующему алгоритму обнаружения:

*

	1					m
z	1			1	2 r s	r	r	s	s

	d
	d				0 0	i	i 1	i	i 1
		п2 1	2			i 1

*

1

h .

0

Вероятность ложной тревоги и правильного обнаружения определяются на основе условных плотностей вероятности величины zd при отсутствии и

наличии сигнала в смеси. С учётом того, что величина zd является результатом линейной комбинации совокупности гауссовских случайных величин, в

итоге получим: F 1 Ф h d	; D 1 Ф h d d	, где h	- порог;	d 2 m2	2	- от-
				1	0

ношение мощности сигнала на выходе обнаружителя к мощности выходного

шума	2	. Заметим, что значения						m	и	2	равны одной и той же величине d 2 ,
	0							1		0
которая определяется выражением
			1				m			2
	d 2		1		1	2 s2	s		s	2	.	(2.105)
	d 2				1	2 s2	s		s	1	.	(2.105)
		1	2	2		0	i		i	1
			2	2
				п			i 1
				п

97

Анализ этого выражения показывает, что отношение сигнал/шум при дискретной обработке зависит как от параметров шума сигнала, так и от ин-

тервала

дискретизации

t . Например, для

детерминированного сигнала

s(t)

A0 cos(

0t

) при условии

0T k, k 1, 2,...,

когда на интервале наблюде-

ния [0,T ] укладывается целое число полупериодов гармонического колебания

и

t

l, l

1, 2,..., имеем

2

1

2

cos

t

d 2

A0

cos2

T

.

2

2 1

t

п

В пределе при t

0 дискретная обработка переходит в непрерывную и

d 2

d02 .

Отношение

d2

d02

характеризует

потери энергии сигнала при

дискретной обработке, представленные на рисунке 2.49, в зависимости от t - нормированного интервала дискретизации при фиксированных значениях нормированной частоты 0 . Из графиков видно, что при относи-

тельно малых интервалах дискретизации по времени качество дискретного обнаружителя незначительно уступает качеству аналогового. С учётом преимуществ дискретной обработки можно считать такие потери несущественными и использовать эту обработку вместо аналоговой.

Рассмотрение дискретного различия двух сигналов приводит к результатам, аналогичным вышеприведённым, поскольку вероятность ошибочного приёма Pe определяется величиной d 2 , которую можно вычислить по форму-

ле (2.105).

2.7Функция неопределённости сигнала

При совместной оценке времени запаздывания сигнала (т.е. дальность до цели) и частотного сдвига (т.е. скорость движения цели) используют со-

отношение неопределённости

	1,
где	- эффективная длительность сигнала; - эффективная ширина

спектра сигнала.

Это соотношение показывает, что сигнал не может иметь одновременно сколь угодно малую продолжительность и произвольную малую ширину спектра.

Критерии эффективности указанных параметров могут быть различны. Так, например, для прямоугольного импульса

	f и 1 ,
где	f - это ширина спектральной плотности вида	sin x	этого сигнала, взятая
где	f - это ширина спектральной плотности вида	x	этого сигнала, взятая
		x

по первым нулям этой функции; и - длительность прямоугольного импульса.

98

Рисунок 2.50.									Рисунок 2.51.
Для характеристики сигналов, зависящих от											и , вводят функцию
неопределённости
	,		1		S		(t) S* t		exp j t dt	,	(2.106)
			1
н						0
						0
			2E				0
			2E
где E		1				2		- энергия сигнала.

				S 0	(t)		dt

		2

Функция неопределённости зависит от формы сигнала. Поверхность, определяемую функцией неопределённости, называют поверхностью неопределённости. Геометрическое тело, ограниченное поверхностью неопределённости и плоскостью н 0 , носит название тела неопределённости.

Пример тела неопределённости показан на рисунке 2.50. Сечение тела неопределённости плоскостями н const позволяют судить об основных свой-

ствах тела неопределённости на уровнях сильной ( н 0, 5 ) и слабой ( н 0,1 )

корреляции (рисунок 2.51).

Тело неопределённости, построенное для функции

2	, , обладает
2
н

следующими важными свойствами: при принимает своё наибольшее значение

2	0, 0	1
н

объём тела неопределённости			2	,
			2
			н
2	, d d	2 .
н	, d d	2 .
н

0 функция неопределённости

(2.107)

не зависит от вида сигнала, т.е.

(2.108)

Соотношение (2.108) можно рассматривать как общую формулировку принципа неопределённости, в соответствии с которым объём тела неопределённости не зависит от вида модуляции сигнала.

Конкретные примеры тел неопределённости будут рассмотрены далее в

гл. 3.

99

3РАЗРЕШЕНИЕ СИГНАЛОВ [1, 2]

3.1Оптимальное разрешение сигналов

Разрешающая способность оценивается той минимальной разницей в параметрах сигналов, при которой возможны уверенное раздельное обнаружение сигналов и оценка их параметров. Применительно к системам извлечения информации разрешающая способность количественно оценивается минимальной разницей в координатах или скоростях целей, позволяющей уверенно и раздельно обнаруживать цели и измерять их координаты. На практике большинство ситуаций сводится к разрешению двух сигналов (целей), поэтому в дальнейшем будем рассматривать этот случай.

В процессе разрешения двух сигналов одновременно решается задача их обнаружения. Наблюдаемая смесь на входе приёмника представляется соотношением (1.17), которое запишем в виде

r(t) 1s1 (t) 2 s2 (t) n(t), t [0,T ] ,

где 1 , 2 - независимые случайные величины, которые могут принимать значения 0 и 1; сигналы s1 (t) , s2 (t) считаем полностью известными функциями времени; n(t) - белый гауссовский шум с характеристиками (1.26).

При разрешении двух сигналов возможны следующие четыре ситуации:

1) наличие в смеси r(t) обоих сигналов и шума ( 1		2	1); 2) наличие в смеси
r(t) сигнала s1	и шума ( 1 1 , 2 0 ); 3) наличие в смеси r(t) сигнала s2 и шу-
ма ( 1 0 , 2	1); 4) наличие в r(t) одного шума ( 1	2	0 ). Задача оптималь-

ного разрешающего устройства состоит в оценке параметров 1 и 2 , обеспе-

чивающей минимум среднего риска (2.2). Этот критерий может быть сведён к максимизации функционала правдоподобия. В рассматриваемом случае функционал правдоподобия можно представить в виде

			1	T		2	dt ,	(3.1)
F	1, 2	exp		r t	s t, 1,	2
F	1, 2	exp	N0	r t	s t, 1,	2
			N0	0
где s t, 1,	2	1s1 t	2s2 t .					(3.2)

Максимизация функционала (3.1) сводится к определению минимального значения интеграла в показатели экспоненты. Предположим, что энер-

гии сигналов s1				и s2			одинаковы и равны E . Тогда с учётом выражения (3.2)
запишем
T							2	T
l	r t		s t,		1	,	2	dt r 2	(t)dt
					1		2
0								0
T							T
2 1 r t s1 t dt 2 2 r t s2 (t)dt
0							0
2 E	2	1	2	12	E		2 E,
1		1	2	12			2

				100
где		1	T	- коэффициент взаимной корреляции сигналов.
	12		s1 (t)s2 t dt
	12	E	s1 (t)s2 t dt
		E	0
Определим значения				1 и 2 , при которых обеспечивается минимум ве-

личины l . Оценки						1	и	2
						*		*
	l					T
	l	\|			*E	r	t	s
		\|		*	*E	r	t	s
					1			1
1						0
	l					T
	l		\|		*E	r	t	s
			\|	*	*E	r	t	s
					2			2
2						0

определяются следующей системой уравнений:

t	dt	12	*E	0 ;	(4.3)
		12	2
t	dt	12	*E	0	(4.4)
		12	1

Решая уравнения (4.3) и (4.4), получаем значения 1 и	2 , приводящие к
*	*

минимуму ( l lmin ):

*

1

*

2

E 1

12	1	T	t	s1	t	12s2	t	dt ;	(4.5)
12		r	t	s1	t	12s2	t	dt ;	(4.5)
2
		0
12	1	T	t	s2	t	12s1	t	dt .	(4.6)
12		r	t	s2	t	12s1	t	dt .	(4.6)
2
		0

Приёмник, реализующий алгоритм (4.5), (4.6), состоит из двух каналов, включающих согласованные фильтры. Импульсные реакции СФ определяются по аналогии с выражением (2.36) и имеют вид:

	g1 (t) C s1 t0	t	12 s2 t0	t	E 1	2	1	;

						12
	g2 (t) C s2 t 0	t	12 s1 t0	t	E 1	2	1		,

						12
где t0	T , что следует из условия физической реализуемости фильтров. При
t0 T	наибольшее значение сигналов на выходе СФ ожидается в момент t T ;

образующиеся в этот момент напряжения сравниваются с пороговыми уровнями lп в пороговых устройствах (ПУ) (рисунок 3.1). Заметим, что возможна

реализация каналов разрешающего устройства на основе корреляторов.

В отличие от обнаружителя сигнала с полностью известными параметрами (например, формулу (2.36) и рисунок 2.7) импульсные реакции g1 (t) 1, 2 , в устройстве разрешения имеют более сложную зависи-

мость от сигналов s1 t и s2 t . При отсутствии корреляции между сигналами ( 12 0 ) каждый из сигналов превращается в оптимальный обнару-

житель одиночного сигнала.

Определим качественные показатели оптимального устройства разрешения двух сигналов. Как и при обычном обнаружении, качество разрешения можно охарактеризовать условными вероятностями правильного обнаружения и ложной тревоги.

Материал: 1253

Смотрите также: