Документ: 1253, страницы 61-65 | База студенческих работ

61

Подставив полученные выражения для корреляционного интеграла (2.54) и энергии (2.55) в формулу (2.49) и учитывая плотность вероятности w( ) , найдём выражение для безусловного отношения правдоподобия:

l(r(t)) exp	E	1	2	exp	2Z	cos( Q) d .

	N0	2	0		N0

Известно, что

1	2
	exp(u cos(	Q))d	I0 (u)	(2.56)
2	exp(u cos(	Q))d	I0 (u)	(2.56)
2	0
	0
есть модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Это чётная
функция своего аргумента, причём I0 (0)				1 (рисунок 2.13). Учитывая фор-

мулу (2.56), запишем отношение правдоподобия для сигнала со случайной начальной фазой в окончательном виде:

l(r(t)) exp	E	I0	2Z	,	(2.57)

	N0		N0

где Z определяется из соотношений (2.51) и (2.52).

2.3.4 Отношение правдоподобия для сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой

Предположим, что обнаруживаемый сигнал задан выражением (1.10), в

котором	0	0.	Пусть начальная фаза	равномерно распределена на
	0
интервале		,	, а амплитудный коэффициент A представляет случайную

величину с плотностью вероятности Рэлея при среднеквадратичном значении, равном единице.

Рисунок 2.13
Для независимых величин A и			совместная плотность вероятности
определяется следующим образом:
w( , A)	1	2 Aexp( A2 ), A	0;
w( , A)	2	2 Aexp( A2 ), A	0;
	2
( ,	).

62

Вычислим корреляционный интеграл z(r(t) | , A) и энергию E( , A)

для фиксированных значений параметров		и A. По аналогии с п. 2.3.3.
можно получить:
z(r(t) \|	, A) AZ cos( Q) ;
E( , A)	A2 E ,

где выражения для Z , Q и E совпадают с аналогичными в п. 2.3.3. В отличие от рассмотренного случая сигнала со случайной начальной фазой

энергия E(	, A)	зависит от случайного амплитудного множителя A. Сред-
нее значение энергии определяется следующим образом:
	2
E	dA	E( , A)w( , A)d	E 2A3 exp( A2 )dA E ,
ср
0	0		0

т.е. среднее значение равно энергии сигнала при частном значении

A 1.

Используя общую формулу (2.49), получим выражение для отношения правдоподобия в виде

l(r(t))			1	dA2		A exp( A2 ) exp					A2 E			exp	2 AZ	cos(	Q) d .
l(r(t))				dA2		A exp( A2 ) exp								exp		cos(	Q) d .
			0	0								N0			N0
Применив формулу (2.56), а также табличный интеграл
									1		2
I		(	x) exp(				x2 )xdx		1	exp			,				(2.58)
I	0	(	x) exp(				x2 )xdx		2	exp	4		,				(2.58)
	0
0
0
получим окончательное выражение отношения правдоподобия для сиг-
нала со случайными начальной фазой и амплитудой:
				N	0		1		Z 2
l(r(t))					0		exp				,						(2.59)
l(r(t))				E		N0	exp	N0	E N0		,						(2.59)

где величина Z определяется по формулам (2.51) и (2.52).

2.3.5 Структурные схемы оптимальных обнаружителей сигналов со случайными параметрами

Алгоритмы оптимального обнаружения рассматриваемых сигналов реализуются на основании полученных выражений для отношения правдоподобия (2.57) и (2.59) и правила (2.20). Решающее правило можно преобразовать, имея в виду, что сравнение с порогом остаётся в силе для любой монотонной функции от отношения правдоподобия.

63

Рисунок 2.14 – Структурная схема квадратурного приёмника

На этом основании запишем оптимальное решающее правило:

*	(r(t))	1,	если Z	Zп ;	(2.60)
opt		0,	если Z	Zп .
		0,	если Z	Zп .

Используя выражение (2.60), а так же соотношения определяющие величину Z , структурную схему обнаружителя можно представить в виде, изображённом на рисунке 2.14. Такую схему называют квадратурным приёмником. Квадратурные каналы организуют благодаря включению фазовращателя в цепь опорного сигнала одного из перемножителей. Квадраторы (Кв),

сумматор ( ), вычислитель квадратного корня (	) обеспечивают формиро-

вание на входе ПУ в момент времени t T значения Z		z2	z2	. Наличие
		1	2

двух каналов исключает возможность потери полезного сигнала вследствие незнания его начальной фазы. При отсутствии приращения корреляционного интеграла, например, в первом канале, второй канал обеспечивает прираще-

ние за счёт сдвига фазы опорного сигнала на

2. Схема, представленная на

рисунке 2.14, как и схема, изображённая на рисунке 2.1, требует знания временного положения ожидаемого сигнала. Если время запаздывания сигнала неизвестно , оптимальный обнаружитель усложняется. При разбиении интервала неопределённости времени запаздывания на элементарные участки, длительность каждого из которых определяется требуемой разрешающей способностью, можно построить многоканальный обнаружитель. Каждый канал его настраивается на сигнал с соответствующим ожидаемым запаздыванием. Решение об обнаружении сигнала принимается одновременно с оценкой времени запаздывания.

Вместо схемы с квадратурными каналами используют схему с согласованным фильтром. Возможность использования согласованных фильтров в обнаружителях сигналов, имеющих случайные параметры, основывается на следующих рассуждениях. Из соотношений (2.50) и (2.51) следует необходимость формирования квадратурных компонентов сигнала.

Представим эти компоненты в следующем виде:

s (t)	Re(S 0 (t) exp( j	0	t))	Re(S* (t) exp( j	0	t)) ;
1		0		0	0

64

Рисунок 2.15 – Структурная схема обнаружителя сигнала со случайной фазой (или со случайными фазой и амплитудой)

s (t)	Im(S 0 (t) exp( j	0	t)) Im(S* (t) exp( j		0	t)) ,
2				0
где комплексная огибающая S0 (t)				S0 (t) exp( j	(t)). Знак «*» озна-

чает комплексно-сопряжённую функцию. В соответствии с соотношениями (2.51) и приведёнными выражениями запишем:

	T	*
z1	Re	r(t) S 0 (t) exp(	j	0t)dt ;
	0
	T	*
z2	Im	r(t) S 0 (t) exp(	j	0t)dt .

0

Величина z представляет модуль комплексного числа:

T

*

z

z2

r(t) S 0 (t) exp(

j

0

t)dt

.

(2.61)

1

2

0

Используем очевидное равенство

1

*

r(t)

R(t) cos(

0t

R (t))

(R(t)e j 0t

R (t)) e j 0t .

2

При этом подынтегральное выражение в формуле (2.61) представим в виде суммы:

**

0, 5(R(t) S 0 (t) R (t) S 0 (t) exp( j2 0t)),

w(Z )

65

в которой второе слагаемое представляет быстро осциллирующую функцию с частотой 2 0 . Интеграл от такой функции можно считать приближённо равным нулю. Поэтому

	1	T	*
z			R(t) S 0 (t)dt	.	(2.62)
z	2	0	R(t) S 0 (t)dt	.	(2.62)
	2	0

Полученному выражению ставится в соответствие схема, содержащая

*

согласованный фильтр (СФ) с импульсной реакцией S 0 (t) и включенный

после СФ линейный детектор огибающей (ДО), который реализует операцию взятия модуля. Структурная схема обнаружителя сигнала со случайной фазой или со случайными фазой и амплитудой представлена на рисунке 2.15, а, временные диаграммы в точках 1-3, поясняющие работу схемы, - на рисунке

2.15, б.

2.3.6 Качественные показатели обнаружения сигналов со случайными параметрами

Для определения характеристик обнаружения сигналов со случайными параметрами необходимо знать условные плотности вероятности случайной величины Z при наличии и отсутствии сигнала в наблюдаемой смеси. Плотность вероятности можно определить из выражения для совместной

плотности вероятности w(Z,Q) , проинтегрировав её по всем возможным значениям Q . Совместная плотность вероятности w(Z,Q) вычисляется на основании совместной плотности вероятности w(z1, z2 ) путём перехода к новым переменным с учётом якобиана преобразования.

Рассмотрим обнаружитель сигнала, содержащего случайную фразу			и
случайную амплитуду A, подчиняющуюся распределению Рэлея. При из-
вестной амплитуде сигнала плотность вероятности	w(A)	(A 1) ,	т.е.
принимается A 1. При отсутствии сигнала w(A)	(A) , т.е. принимается

A 0.

Можно показать по аналогии с соотношениями (2.23) и (2.24), что для любого фиксированного значения A средние значения случайных величин z1

и z2 и их дисперсии определяются выражениями:

		T		AE cos	;
z1,2	A	s(t, )s1,2	(t)dt	AE cos	;
z1,2	A	s(t, )s1,2	(t)dt	AE sin	;
		0		AE sin	;
		0
		T T
2	2	n(t1 )n(t2 ) s1,2 (t1 )s1,2			(t2 )dt1dt2 N0 E 2 .
z	z	n(t1 )n(t2 ) s1,2 (t1 )s1,2			(t2 )dt1dt2 N0 E 2 .
1,2

0 0

Материал: 1253

Смотрите также: