Документ: 1253, страницы 51-55 | База студенческих работ

51

ного интеграла с некоторой постоянно задержкой t0 . В соответствии с соотношениями (2.33) – (2.35) получим

	g(tз	t0	)r( )d	C s(	tз )r( )d .
Это	равенство		тождественно		выполняется		в	случае,	если
g(tз	t0	) Cs(	tз ) .
	Введём новую переменную t				tз t0	и получим выражение для
импульсной реакции согласованного (оптимального) фильтра:
	g(t) gopt (t)		Cs(t0	t) ,					(2.36)
где C , t0 - постоянные величины.
	В момент времени tз			t0 согласованный фильтр обеспечивает на

входе напряжение, пропорциональное величине корреляционного инте-

грала z(tз ) . Следовательно, такой фильтр можно использовать при опти-

мальном обнаружении сигналов.

Импульсная реакция согласованного фильтра в соответствии с формулой (2.36) представляет функцию s(t) , в которой аргумент t заменён на

(t0 t) . Это означает зеркальное отображение функции s(t) (сигнала) отно-

сительно прямой t (t0 2 ) C s(t0 2 ) .

Рисунок 2.6 иллюстрирует операцию зеркального отображения сигнала (а) и образования функции gopt (t) (б). Постоянные C и t0 позволяют учесть

требования, которые необходимо выполнять для оптимального приёма сигнала. Величина C выбирается из условия обеспечения требуемого уровня сигнала на выходе фильтра. При выборе C необходимо соответствующим образом установить порог обнаружения, чтобы обеспечить требуемую вероят-

ность ложной тревоги. Величина t0 определяется из условия физической

реализуемости фильтра. Поскольку при t	0 gopt (t) 0, необходимо, что-
бы
t0 T ,	(2.37)

где T - продолжительности сигнала. При не выполнении условия (2.37) импульсная реакция фильтра опережает входное воздействие -функции (см. 2.6, б), что противоречит условию физической реализуемости фильтра.

52

а – зеркально отображение сигнала; б – оптимальная функция

gopt (t)

Рисунок 2.6

а – структурная схема обнаружителя; б - временные диаграммы напряжений на входе и выходе согласованного фильтра Рисунок 2.7

Можно убедится в том, что на выходе согласованного фильтра в момент времени t t0 tз обеспечивается отношение сигнал/шум q 2E N0 , т.е.

такое же, как и на выходе коррелятора. Следовательно, характеристики обнаружения при использовании согласованных фильтров будут определяться соотношениями (2.31) и (2.32). Структурная схема такого обнаружителя приведена на рисунке 2.7, а. Временные диаграммы на входе и выходе согласованного фильтра (в точках 1 и 2) показаны на рисунке 2.7, б.

Определим частотную характеристику согласованного фильтра. Комплексный коэффициент передачи фильтра связан с импульсной реакцией преобразованием Фурье:

K opt ( j	)	gopt (t)ext( j		t)dt .		(2.38)
Подставив в формулу (2.38) выражение (2.36) для импульсной реакции
и произведя замену переменной				t0	t , получим
K opt ( j	)	C s(t0	t) exp(	j	t)dt
C s(		) exp( j	) exp( j	t0 )d .		(2.39)

						53
Введём спектральную функцию сигнала s(t) :
S s ( j	)		s(	) exp(	j	)dt ,			(2.40)
тогда	S*	( j	)	S s (	j )	- комплексно-сопряжённая			спектральная
	s
функция сигнала. С учётом формулы (2.40) выражение (2.39) примет вид:
K opt ( j	)		C S* ( j ) exp(			j t	0	) .	(2.41)
				s			0

Модуль комплексного коэффициента передачи определяет амплитудночастотную характеристику согласованного фильтра:

	K opt ( j )	C	S s ( j	)	.	(2.42)

Здесь учтено, что модули комплексно-сопряжённых спектральных
функций S s ( j		) и Ss* ( j		) равны.

Из выражения (2.42) следует, что амплитудно-частотная характери-

стика согласованного фильтра с точностью до постоянного множителя совпадает с амплитудно-частотным спектром сигнала. В этом проявляется свойство согласованности оптимального фильтра: он подчёркивает наиболее интенсивные составляющие спектра сигнала и подавляет вместе с шумом наименее интенсивные составляющие спектра.

Аргумент комплексного коэффициента передачи определяется выраже-

нием

arg K opt ( j )	arg S s ( j )	t0 ,
т.е. состоит из аргумента спектральной функции ожидаемого сигнала,

взятого с обратным знаком, и аргумента задержки - t0 . Фазо-частотная ха-

рактеристика согласованного фильтра обеспечивает компенсацию фазо-

вых сдвигов спектральных составляющих сигнала, что приводит к их одно-

временному наложению в момент времени t

tз t0 и достижению макси-

мума сигнала на выходе фильтра. Действительно, приняв tз 0 , получим

uс.ф. (t)

1

Kopt ( j )Ss ( j ) exp( j t)d

2

C

Ss ( j

)

2 exp( j (t

t0 ))d .

2

Ss ( j )

2

Квадрат

модуля

представляет

чётную функцию частоты.

Представив exp( j

(t t0 )) по формуле Эйлера, получим в правой части вы-

54

ражение для uс.ф. (t) сумму двух интегралов. С учётом равенства нулю интеграла от нечётной функции будем иметь

uс.ф (r)

C

Ss ( j )

2 cos(

(t t0 ))d .

2

При t

t0 получаем наибольшее значение интеграла

u

(t

0

)

C

S

s

( j )

2 d

CE .

с.ф

2

Здесь учтено равенство Парсеваля, в соответствии с которым энергия сигнала определяется интегралом от квадрата модуля спектральной функции.

Величина uс.ф (t0 ) соответствует максимальному значению сигнала на выходе согласованного фильтра.

2.2.6 Реализация согласованных фильтров

Рассмотрим некоторые виды сигналов и соответствующие им согласованные фильтры.

Согласованный фильтр для прямоугольного видеоимпульса опре-

деляется следующими характеристиками. Сигнал имеет вид

s(t) Arect	t	A, t	0,
	t


	и	0, t	0,
	и	0, t	0,

и

;

(2.43)

.

Спектральная функция такого сигнала

		и			A
S s ( j )	A	exp( j		t)dt	A		(1 exp( j и )) .
S s ( j )	A	exp( j		t)dt	j		(1 exp( j и )) .
		0			j
		0
Положим t0		и и найдём комплексный коэффициент передачи согла-
сованного фильтра по формуле (2.41):
Kopt ( j	)	C A	(1	exp(	j		и )) .

		i
		i
Функциональная схема фильтра приведена на рисунке 2.8, а. Фильтр
содержит идеальный усилитель с коэффициентом усиления K0 CA , инте-
гратор, линию задержки на время					и	и вычитающее устройство. Реакция со-
					и

гласованного фильтра на сигнал показана на рисунке 2.8, б. Форма напряжения соответствует автокорреляционной функции прямоугольного импульса:

uс.ф (t) CE 1	t	и	, t 0, 2 и .

и

Максимум напряжения uс.ф (t) достигается при t и .

55

В случае согласованного фильтра для последовательности знакопеременных импульсов (псевдослучайной последовательности - ПСП) сиг-

нал задан в виде

	N 1	t
s(t)	rect	t	э	,
			э

	0		э
где	принимает значения 1 в соответствии с законом ПСП; э -

длительность элемента ПСП. Пример чередования знаков в ПСП показан на рисунке 2.9, а. Соответствующая последовательности импульсная реакция согласованного фильтра приведена на рисунке 2.9, б.

а – функциональная схема фильтра;

б – реакция согласованного фильтра на сигнал s(t)

Рисунок 2.8 – Согласованный фильтр для прямоугольного видеоимпульса.

Фильтр в данном случае может быть реализован с помощью многоотводной линии задержки (ЛЗ) и блока весовых коэффициентов (БВК), на выходах которого формируются напряжения, подаваемые на выходы сумматора (рисунок 2.9, в).

а – пример чередования знаков в ПСП; б – импульсная реакция согласованного фильтра для ПСП; в – согласованный фильтр для ПСП. Рисунок 2.9 – Согласованный фильтр для последовательности знакопе-

ременных импульсов

Материал: 1253

Смотрите также: