Документ: 1253, страницы 46-50 | База студенческих работ

		46
наличии в смеси r(t)		сигнала и шума величину z(t) можно представить в
виде сумме:
	T	T
z(T )	s2 (t)dt	n(t)s(t)dt E z	сл	.
			сл
	0	0

Второе слагаемое zсл представляет случайную величину. Её среднее значение равно нулю. Действительно, с учётом условия (1.26) имеем

	T				T
zсл		n(t)s(t)dt				n(t)		s(t)dt 0 .		(2.23)
	0				0
Дисперсия случайной величины zсл						определяется выражением
	T T
z	2	n(t )n(t		2	) s(t )s(t		2	)dt dt	2
	сл	1		2	1		2	1	2
	0 0
	T T
(N0 2)		(t1	t2 )s(t1 )s(t2 )dt1dt2 .
	0	0

Здесь учтено, что автокорреляционная функция белого шума определяется - функции (1.25), получаем

z2	N0	T s2 (t )dt	N	E 2.	(2.24)

сл	2	1 1	0
		0

Рисунок 2.1 – Структурная схема оптимального обнаружителя.

47

Рисунок 2.2 – Временные диаграммы напряжений в точках 1-4 оптимального обнаружителя.

Введём обозначение сигнал/шум q как отношение квадрата макси-

мального значения сигнальной составляющей напряжения на выходе интегратора к среднему квадрату случайной составляющей:

q E2 (N0 E2) 2E N0 .

Заметим, что отношение сигнал/шум на выходе интегратора опреде-

ляется энергией сигнала и спектральной плотностью шума. Оно не зависит от формы обнаруживаемого сигнала, если шум белый.

2.2.4 Качественные показатели оптимального обнаружителя

Определим вероятность правильного обнаружения и ложной тревоги. Для этого необходимо знать условные плотности вероятности напряжения z(T ), вырабатываемого интегратором при наличии и отсутствии сигнала в

смеси r(t) .

Поскольку шум n(t) гауссовский, то случайная величина z(T ) также имеет гауссовскую плотность вероятности с нулевым математическим ожи-

данием и дисперсией

2

z2

:

z

сл

1

z2

w(z

)

exp(

сл

) .

(2.25)

сл

2

z

При отсутствии сигнала в смеси r(t)

условная плотность вероятности

wп (z)

совпадает с выражением (2.25), куда вместо zсл следует подставить

z(T)

z .

При действии в смеси сигнала и шума случайная величина z(T )

имеет

гауссовскую плотность

вероятности

с математическим ожиданием

z

E и дисперсией

z2 :

* (z)

48

w	(z)	1		exp(	z(T )	E	) .	(2.26)
w	(z)			exp(			) .	(2.26)
с.п.		2			2	2
		2	z		2	2
			z			z

В соответствии с правилом обнаружения (2.22) условную вероятность ложной тревоги определим как вероятность превышения порога zп случайной величиной z , если на входе обнаружителя действует только шум:

F wп (z)dz .

(2.27)

zп

Условная вероятность правильного обнаружения определяется вероятностью превышения порога zп случайной величиной z , если на входе обнаружителя действуют сигнал и шум:

D wс.п. (z)dz .	(2.28)
zп

а – условные плотности вероятности wп (z) и wс.п. (z) ; б – решающая функция * (z).

Рисунок 2.3 – Графическое определение вероятности правильного обнаружения D и ложной тревоги F .

На рисунке 2.3 приведены кривые условных вероятностей wп (z) и

wс.п. (z) (а) и функция , соответствующая оптимальному решающему

правилу (б). Заштрихованные площади под кривыми численно равны вероятностям D и F . Для вычисления вероятности F воспользуемся формулой

(2.27)

и,

подставив

в неё

выражение

wп (z) , после замены переменной

t z

z

получим

1

z2

1

t2

F

exp(

)dz

exp(

)dt

2

z

zп

z

zп z

								49
1	(		zп	) ,
1	(			) ,
			z
где
1					t2
		exp(				)dt	(x)	(2.29)
					2
2
2

есть интеграл вероятности, таблицы которого приведены в справочниках. Вид функции (x) показан на рис. 2.4.

Рисунок 2.4

Рисунок 2.5

Вероятность правильного обнаружения вычисляется аналогично после подстановки в формулу (2.28) выражения (2.26) и замены переменной

t (z E) z :

D	1		exp(	(z E)2		)dz
				2	2
	2	z zп
	2
					z

1			exp( t 2 2)dt	1	(	zп E	) .	(2.30)

2
	( zп	E )	z			z

Учитывая выражение для				z2 [см. формулу (2.24)], можно в аргумент

функции Ф в соотношении (2.30) ввести отношение сигнал/шум q . Обозна-

чим через hп		zп z	относительное значение порога. Тогда условные веро-
ятности F и D можно записать в следующем виде:
F	1	(hп ) ;			(2.31)

D	1	(hп		q ) .	(2.32)

Семейство зависимостей вероятности правильного обнаружения D от отношения сигнал/шум при фиксированных значениях вероятности ложной тревоги F называют характеристиками обнаружения. Кривые обнаружения детерминированного сигнала приведены на рисунке 2.5. По этим кривым можно определить пороговый сигнал (пороговое отношение сигнал/шум) – сигнал, который при данной вероятности ложной тревоги F можно обнару-

50

жить с требуемой вероятностью правильного обнаружения. Пороговый сиг-

нал в оптимальном приёмнике характеризуется энергией и не зависит от формы сигнала. На практики порог устанавливается по величине дисперсии

шума на выходе коррелятора				z2 . По таблицам интеграла вероятности опре-
деляют значение аргумента hп				(относительного порога) при заданной вероят-
ности ложной тревоги [см. формулу (2.31)]. При известной дисперсии					2
					z
					z
определяют порог z	п	h	2 .
	п	п	z

На практике приём детерминированных сигналов, как правило, не встречается, поэтому приведённые результаты следует рассматривать как потенциальный предел, достижимый при обнаружении сигнала в белом шуме.

2.2.5 Согласованные фильтры в оптимальных обнаружителях

Значение z(T ) может быть получено не только с помощью корреляци-

онного приёмника, но также с помощью линейного фильтра, который назы-

вают согласованным (оптимальным фильтром).

Потребуем, чтобы линейный фильтр обеспечивал на своём выходе напряжение, пропорциональное значению корреляционного интеграла z(t3 )

при произвольном времени tз приход сигнала s(t tз ) . Запишем корреляционный интеграл в виде

z(tз ) r(t)s(t tз )dt . (2.33)

Выражение (2.33) представляет интеграл свёртки, которую осуществляет линейный фильтр. Если импульсная реакция линейного фильтра (реакция

на -функцию) описывается функцией		g(t) , то реакция фильтра на произ-
вольное воздействие r(t) выражается следующим образом:
uвых (t)	g(t )r( )d .	(2.34)

Здесь необходимо учитывать, что для физически реализуемого фильтра при

t 0 импульсная реакция тождественно равна нулю: g(t)	0.
Для определения импульсной реакции согласованного фильтра потре-
буем, чтобы напряжение на его выходе в момент времени t	tз t0 (t0 - не-
которая постоянная величина) с точностью до вещественного множителя C
равнялось величине корреляционного интеграла:
uвых (tз t0 ) C z(tз ) .	(2.35)

Это равенство означает, что на выходе согласованного фильтра должны последовательно во времени воспроизводится текущие значения корреляцион-

Материал: 1253

Смотрите также: