Материал: Задания и методические указания к типовому расчету Ряды. Кратные интегралы. Операционное исчисление по дисциплине «Математика» для студентов направления 15.03.01 «Машиностроение». Горбунов В.В., Костина Т.И

1

3

2 x2

1

3

(1 x 2 )

y

1x2

dx

(1 x 2 )(1 3x 2 )dx

1

3

1

3

3

5

1

3

4x

3x

56 3

x

.

3

5

135

1

3

Вычислить двойной

интеграл

Задание

№

6.

xy 2x2 dxdy

по

области D ,

ограниченной

линиями:

D

y x 2 ,

y 0 , x y 2 .

0 y 1,

D:

y x 2 y.

1

2 y

xy 2x2 dxdy dy

xy 2x2

dx

D

0

y

1

1 2 y 2 y

2 2 y 3

2

x2 y

2x3

2 y

y2

y3

dy

dy

2

3

0

2

3

2

3

0

y

1 4 y 4 y2 y

3

16 24 y 12 y2 2 y3

y2

2 y3

dy

2

3

2

3

0

1

1 1

y3 9 y2

36 y 32 2 y3

3

2

y

36 y 32 dy

dy

9 y

6

3

6

0

0

5

2 y3

y3

y2

4 y 2

1

1

y

4

1

1

dy

9

36

32 y

3

6

4

3

2

15

0

0

0

1

1

9

36

4

88

4

403

32

.

6

4

3

2

15

24

15

120

Задание 7. Вычислить

криволинейный

интеграл

(x2 y 3x)dx ( y2 x 2 y)dy вдоль 1)

ломаной L ABC , если

L

точки заданы следующим образом:

A(1;0) , B(2;3) ,

C(2;5) ,

2) вдоль дуги эллипса x 3cost,

y 2sin t , (0 t / 2).

AB :

x 1

y 0

;

y 3(x 1).

2 1

3 0

Находим производную

y 3.

Тогда криволинейный инте-

грал по участку AB приобретет вид:

(x2 y 3x)dx ( y 2 x 2 y)dy (x2 y 3x) ( y 2 x 2 y) y dx

AB

3x 9(x 1)

AB

6) 3 dx

2

x

2 (3x 3)

2 x 6x

1

2

5

19

2

(10x3 19x 2

x4

x3 7x2

3

14x 6)dx 3

6x

1

2

3

1

5 15

19 7

49

3

7 3 6

.

2

3

2

Уравнение

отрезка BC имеет

вид

x 2 .

В

этом

случае

dx 0,

3 y 5. Таким образом,

5

2

244

1

(y 2 x 2 y)dy

(2 y 2 2y)dy

(

y3

y

2 )

5

81

.

BC

3

3

3

3

3

Сложив значения криволинейного интеграла на двух

участках, получим ответ:

(x2 y 3x)dx ( y 2 x 2 y)dy

49

244

105

5

.

L

2

3

6

xt 3sin t;

yt 2 cos t . Тогда

(x2 y 3x)dx ( y 2 x 2 y)dy

L

(9 cos2 t 2sin t 9 cost) ( 3sin t) (4sin 2 t 3cost 4sin t) 2 cost) dt

2

0

2

15

sin 2

35

2

15

35

2t

sin 2t

dt

(1

cos4t)

sin 2t

dt

0

2

2

0

4

2

15

35

.

8

2

П

n dS

F

divFdV .

S

V

Дивергенцией векторного поля

= X x, y, z ;Y x, y, z ; Z x, y, z называется скаляр

F

X (x, y, z)

Y (x, y, z)

Z (x, y, z) .

divF

x

y

z

(x y)

(2 y)

(x 3z)

6

divF

x

y

z

1

0

2 y 2x

П

F

dS

6 dV 6 dx

dy

dz

n

S

V

0

2x 2

0

1

0

1

0

6 dx (z

2 y

2x )dy 6 dx (2 y 2x)dy

0 2x 2

0

0

2x 2

1

y

2

1

1

6 [(2- 2x) y

]

02x 2 dx 6 [(2x

2)2

(2x 2)2

]dx

2

0

2

0

1

2)2 dx

1

1)2 dx 12

(x 1)

3

10 4(0 1) 4.

3 (2x

12 (x

3

0

0

нию F ( p)

p 2

.

p ( p 2

4 p 5)

F ( p)

p 2

A

Bp C

.

p ( p 2 4 p 5)

p

p 2 4 p 5

p 2

A( p 2 4 p 5) Bp2 Cp

.

p ( p 2

4 p 5)

p ( p 2

4 p 5)

p

2

0 A B,

p1

1 4 A C,

p 0

2 5A.