Материал: Задания и методические указания к типовому расчету Ряды. Кратные интегралы. Операционное исчисление по дисциплине «Математика» для студентов направления 15.03.01 «Машиностроение». Горбунов В.В., Костина Т.И
|
Решая систему уравнений, |
|
находим |
|
A |
2 |
, |
B |
2 |
, |
|||||||||||
|
|
|
5 |
5 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
C |
|
3 |
. В результате |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
p ( p 2 4 p 5) |
|
5 p |
p 2 4 p 5 |
|
|
|
|
|
|||||||||
Для каждой из полученных дробей с помощью таблицы изображений основных элементарных функций легко установить функцию-оригинал
|
|
|
2 |
|
|
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
5 p |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
( p 2) |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
2t |
|
||||||||||
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
cost |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
||||||||||||||
p 2 4 p 5 |
|
5 |
|
( p 2)2 1 |
5 |
( p 2)2 1 |
|
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
e |
2t |
sin t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Функцияоригинал имеет вид: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
F ( p) |
2 |
|
|
2 |
e |
2t cost |
1 |
e 2t sin t . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Задание № 10. Найти методом операционного исчисле-
ния решение дифференциального уравнения x 2x 3x e2t с начальными условиями х(0)=0, х'(0)=1.
Решение. Обозначим X p изображение решения x(t) за-
дачи Коши.
Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, запишем
x(t) X ( p) , x (t) pX ( p) x 0 , x (t) p2 X ( p) px 0 x (0) .
Запишем изображение функции в правой части исходного дифференциального уравнения
e2t 1 . p 2
Получим изображающее (по Лапласу) уравнение
34
|
p2 X p 1 2 pX p 0 3X p |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Разрешая уравнение относительно X p , имеем |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
X p p2 2 p 3 1 |
|
1 |
|
|
или X p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 1 |
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p2 2 p 3)( p 2) |
|||||||||||||||||||||
|
Разложим дробь X p на простейшие дроби |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
p 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
B |
|
C |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||
|
( p 2)( p2 2 p 3) |
p 2 p 1 p 3 |
|
p 2 |
|
p 3 |
p 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Методом неопределенных коэффициентов получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
1 |
; |
|
|
B |
1 |
; |
|
C - |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X p |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 p |
3 |
|
|
|
|
6 p 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Для полученных дробей найдем функции-оригиналы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
e2t |
, |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
e3t , |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
e t |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
p 2 |
|
p |
3 |
|
|
p |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Решение дифференциального уравнения запишется в ви- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x(t) = |
1 |
e |
2t |
|
|
1 |
e |
3t |
|
|
1 |
e |
t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
35
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов / Н.С. Пискунов. М.: Наука, 1985. Т.1. 432 с.
2.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. М.: Наука, 1975. 624 с.
3.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для втузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. М.: Высш. шк., 1986. Ч. 2.
4.Шипачев В.С. Высшая математика: учеб. пособие / В.С. Шипачев. М.: Высш. шк., 2007. 479 с.
5.Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учеб. пособие / В.С. Шипачев. М.: Высш. Шк., 2007. 304 с.
36
СОДЕРЖАНИЕ
Задание № 1……………………………………………….1 Задание № 2……………………………………………….2 Задание № 3……………………………………………….3 Задание № 4…………………………………………….…5 Задание № 5…………………………………………….....8 Задание № 6………………….………….………………...9 Задание № 7……………………………………………....13 Задание № 8……………………………………………....17 Задание № 9……………………………………………....19 Задание № 10………………………..…………………....20 Примеры решения заданий ……………………………...24 Библиографический список…………………………...…36
37
ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к типовому расчету “Ряды. Кратные интегралы. Операционное исчисление ” по дисциплине «Математика» для студентов направления 15.03.01 «Машиностроение» профиль («Оборудование и технология сварочного производства»)
очной формы обучения
Составители: Горбунов Валерий Викторович
Костина Татьяна Ивановна Соколова Ольга Анатольевна
В авторской редакции
Компьютерный набор О.А. Соколовой
Подписано к изданию 20.11.2015.
Уч.- изд. л. 2,2. “C“.
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14