Материал: Задания и методические указания к типовому расчету Ряды. Кратные интегралы. Операционное исчисление по дисциплине «Математика» для студентов направления 15.03.01 «Машиностроение». Горбунов В.В., Костина Т.И
x 2x 5 y 1
10.30. y x 2 y 1 . x 0 1; y 0 0
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задание № 1. Исследовать сходимость числовых рядов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
n3 |
|
, б) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(2n)! |
|
n(ln n)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n 1 |
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение |
(1а). |
|
Воспользуемся |
признаком |
Даламбера. |
||||||||||||||||||||||
Имеем |
un |
|
|
n3 |
|
, un 1 |
(n 1)3 |
|
. Применяя признак, вычис- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
(2n 2)! |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
лим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l= lim |
|
un1 |
|
|
lim |
(n 1) |
3 (2n)! |
|
|
lim |
n 1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
=0<1. |
||||||
n |
|
un |
|
|
n |
(2n |
2)!n3 |
|
|
n n |
|
(2n 1)(2n 2) |
|
|
|||||||||||||
По признаку Даламбера данный ряд сходится. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Решение (1б). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Введем функцию непрерывного аргумента f(x)= |
1 |
|
, за- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln 2 x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
менив в формуле общего члена ряда |
a(n) |
|
целочис- |
||||||||||||||||||||||||
n ln 2 n |
|||||||||||||||||||||||||||
ленную переменную на непрерывную, и исследуем сходимость, используя интегральный признак. Для этого вычислим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
= |
|
lim |
|
|
dx |
|
|
= |
|
lim |
|
|
d (ln x) |
= |
||||||
|
x(ln x)2 |
|
x(ln x)2 |
|
(ln x)2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
b |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
|
- |
|
|
|
= |
|
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
b |
|
|
ln x |
|
2 |
|
|
b |
ln 2 |
|
ln b |
|
ln 2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из сходимости несобственного интеграла следует сходимость данного ряда.
Задание №2. Найти область сходимости степенного ряда
|
1 |
|
x n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Вычислим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
l = lim |
|
un 1 |
|
= |
lim |
|
x |
|
n 1 n2 2n |
|
|
|
x |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
n |
|
un |
|
|
n |
2n 1 (n 1)2 |
x n |
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По признаку Даламбера ряд сходится при l < 1, отсюда 2x < 1, |x| < 2 или -2<x<2. Следовательно, ряд абсолютно схо-
дится в интервале при -2<x<2. Граничные точки подлежат дополнительному исследованию. При x =2 и x = -2 из данного
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряда |
получаем соответственно числовые ряды |
n 2 и |
|||||
n 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
( 1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Из интегрального признака сходимости следует, |
||||
n 1 |
n2 |
||||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
что эти ряды абсолютно сходятся, поэтому областью сходимости данного ряда является отрезок [-2, 2].
Задание № 3. Вычислить определенный интеграл
1
cos
2x dx с точностью до 0,001, разложив подынтеграль-
0
ную функцию в ряд.
Решение. Пользуясь рядом Маклорена для cos x , заменяя в нем x на 
2x , имеем
25
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
4x 2 |
|
8x3 |
16 x 4 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
cos 2x |
= 1 – |
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
– ... . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2! |
+ |
4! |
|
|
6! |
+ |
|
8! |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Интегрируя в указанных пределах, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
x3 |
|
|
x 4 |
|
x5 |
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
cos |
2x dx = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
= |
|||||||||||||||||
|
|
2 |
6 3 |
90 4 |
2520 5 |
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
.... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
12600 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
18 |
360 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пятый член этого знакочередующегося сходящегося ряда меньше 0,001. Поэтому для вычисления искомого приближенного значения интеграла достаточно взять четыре первых члена ряда:
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
2x dx = |
||||||
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
1 0,5 0,056 0,003 0,559. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
18 |
360 |
|
|
|
||||||
|
|
|
Задание |
|
№ |
4. Изменить порядок интегрирования |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
1 |
x3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
||||
dx f x, y dy dx f x, y dy . |
||||||||||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|||
Решение. При объединении областей интегрирования, соответствующих двум двукратным интегралам, образуется область интегрирования, представляемая криволинейным треугольником ОАВ. Эта область ограничена линиями y x3 ,
y |
3 x |
и y 0 . |
|
2 |
|||
|
|
||
|
|
26 |
y
1 |
A |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
O |
1 |
3 |
x |
|
|
||||
Рис. 1
Поскольку при изменении порядка интегрирования область описывается с помощью системы неравенств
0 y 1,
3
y x 3 2 y,
то это позволяет расставить пределы интегрирования в соответствии с данной системой неравенств:
|
|
|
3 x |
|
|
|
|
|
1 |
x3 |
3 |
2 |
1 |
3 2 y |
|||
dx f x, y dy dx |
f x, y dy dy |
|
f x, y dx |
|||||
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
3 |
|
y |
|
Задание №5. Вычислить объем тела, ограниченного по- |
||||||||
верхностями |
z 1, |
z 2 x2 , |
y x2 , |
|
y 1 2x2 . Сде- |
|||
лать чертеж его проекции на плоскость хОу.
Решение. В прямоугольной декартовой системе координат двукратный интеграл позволяет вычислять объем цилиндроида, тела, имеющего боковую цилиндрическую поверхность. Если область цилиндроида может быть определена системой неравенств
|
|
a x b, |
|
|
|
|
y1 (x) y y2 (x), |
||
|
|
|||
z (x, y) z z |
2 |
(x, y), |
||
|
1 |
|
|
|
то объем тела V находится по формуле
27
b y2 (x)
V dx z2 (x, y) z1 (x, y) dy . a y1(x)
Для определения пределов интегрирования сделаем чертеж проекции тела на плоскость xOy. Проекция боковой цилиндрической поверхности образует границу области D.
y
y=x2 y=1-2x2
D
1 O |
1 |
x |
3 
3
Рис. 2
Для переменной внешнего интегрирования x пределы определяются наибольшим и наименьшим значениями в области
D, т.е. |
1 |
|
x |
1 |
|
. Переменная внутреннего интегрирова- |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|||||||
3 |
3 |
|
||||||
ния y, являясь функцией переменной x, для каждого значения x
меняется от значения, задаваемого нижней кривой |
y x2 , до |
||
значения, |
задаваемого верхней кривой. |
Следовательно, |
|
x2 y 1 2x2 . Поскольку цилиндроид |
снизу |
ограничен |
|
плоскостью |
z 1, а сверху поверхностью z |
2 x2 , то пере- |
|
менная z удовлетворяет двойному неравенству 1 z 2 x2 . Поэтому
|
|
|
|
|
1 2 x2 |
|
|
|
|
1 2 x2 |
|||||
|
1 3 |
|
|
|
1 3 |
|
|||||||||
V |
|
|
|
dx |
|
2 x2 1 |
dy |
|
|
|
dx |
|
(1 x2 )dy |
||
|
1 3 |
|
x2 |
|
|
1 3 |
|
x2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|