Материал: Вычисление интегралов с использованием тригонометрических формул

(Мы предполагаем, что эти коэффициенты известны.). Общее решение будем искать в виде ряда с коэффициентами c_n(t), зависящими от времени: Очевидно, что граничные условия y(0,t)=0 и y(L,t)=0 выполняются при любых значениях времени t>0. Начальные условия для c_n(t) имеют вид Подставим эти выражения в уравнение теплопроводности . Тогда Умножим обе части последнего выражения на и проинтегрируем на интервале [0, L], используя соотношения ортогональности .

В результате получаем

или

Решая полученное обыкновенное дифференциальное уравнение, находим c_n (t):

где − постоянная, зависящая от начальных условий. Учитывая, что c_n(0) =b_n, получаем решение для c_n(t) в форме

Следовательно, окончательное решение уравнения теплопроводности выражается формулой

Пример.

Найти решение волнового уравнения для струны с закрепленными концами с граничными условиями u(0,t)=u(L,t)=0. Начальное смещение и скорость заданы в виде

где f(x) и g(x) − некоторые функции, которые считаются известными в данной задаче. При этом должны быть выполнены соотношения

Решение.

Будем искать все периодические решения задачи, в которых разделяются переменные x и t, т.е. в форме Тогда

.

Подставляя это в волновое уравнение, получаем или .

В последней записи функция в левой части зависит только от x, а функция в правой части - только от t. Это возможно, если только обе части уравнения равны некоторой константе. Следовательно,

Если константа α положительная, то, полагая , получим уравнение с общим решением Такое решение не содержит периодических функций по t. Поэтому рассмотрим вариант, когда константа α отрицательна: . В этом случае волновое уравнение расщепляется на два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Решая первое уравнение, находим: где C₁ и C₂ − постоянные интегрирования. Учитывая граничные условия, получаем: Тогда

Полагая C₂≠0 (в противном случае мы бы получили тривиальное решение X≡0), находим, что (n − целое число). Следовательно, так называемые собственные значения равны Соответствующие им собственные функции записываются в виде:

При λ=λ_n второе уравнение имеет решение

Таким образом, можно записать, что

Здесь n − целое число, а A_n и B_n − постоянные, зависящие от начальных условий. Теперь мы можем построить общее решение волнового уравнения как линейную комбинацию частных решений:

Предполагая, что этот ряд дифференцируемый, запишем выражение для производной:

Теперь из начальных условий определим постоянные A_n и B_n:

Видно, что функции f(x) и g(x) следует разложить по ортогональной системе . По формулам для коэффициентов Фурье получаем:

Таким образом, решение волнового уравнения с заданными граничными и начальными условиями имеет вид:

где коэффициенты A_n и B_n определяются приведенными выше формулами. Первый член ряда u₁(x,t) называется основной частотой, остальные члены u_n(x,t) − обертонами или гармониками. Период и частота гармоники определяются формулами

Пример.

Найти решение уравнения Лапласа в круге c граничным условием

Решение.

Будем искать решение в полярных координатах (r, φ). Взаимосвязь между декартовыми и полярными координатами определяется стандартными формулами (рисунок 3):

Будем искать решение u(r,φ) в виде ряда Фурье

где коэффициенты Фурье a_n(r) и b_n(r) зависят от радиуса r. Предполагая, что функция u(r, φ) является достаточно гладкой и допускает двойное дифференцирование по r и φ, получаем следующие выражения для производных:

Подставляя это в уравнение Лапласа, находим

Поскольку это выражение равно нулю при всех r и φ, то приходим к выводу, что

Таким образом, мы получили систему обыкновенных дифференциальных уравнений вместо исходного уравнения в частных производных (этот метод был предложен Жозефом Фурье в 1822). Важно, что каждое уравнение в системе решается независимо. Убедимся, что полученным уравнениям удовлетворяют функции вида

Здесь постоянные a_n(r) и b_n(r) находятся из начальных условий к полученным обыкновенным дифференциальным уравнениям. Чтобы сформулировать эти начальные условия, разложим в ряд Фурье функцию , определяющую граничные условия для уравнения Лапласа в полярных координатах. В результате находим

Приравнивая коэффициенты слева и справа при членах cosnφ и sinnφ, получаем соотношения

Следовательно, система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет решение

Тогда решение уравнения Лапласа записывается в виде

где α_n, β_n − известные числа, зависящие от граничных условий. Полученный ответ можно упростить. Подставим явные выражения для коэффициентов α_n, β_n:

Заметим, что Поэтому

Используя формулу , можно показать, что выражение в квадратных скобках равно сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Тогда решение будет определяться формулой