Материал: Вычисление интегралов с использованием тригонометрических формул

Вычислим несколько интегралов, которые нам понадобятся в дальнейшем, k и n–натуральные числа

Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул.

Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [-; ], то существует интеграл

.

Такой результат получается в результате того, что .

Получаем: . Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cosnx и интегрируем в пределах от - до .

Отсюда получаем:

Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sinnx и интегрируем в пределах от - до . Получаем:

Выражение для коэффициента а₀ является частным случаем для выражения коэффициентов a_n.

Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2, непрерывная на отрезке [-; ] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты

существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x).

Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.

Теорема (Теорема Дирихле). Если функция f(x) имеет период 2 и на отрезке [-;] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок [-;] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва его сумма равна , т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).

Пример: Разложить в ряд Фурье функцию с периодом

Получаем

Замечание: Нетрудно показать, что если функция f(x) имеет период , то

, где l – любое число.

Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется кусочно–монотонной на отрезке [-;].

Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Отметим следующие свойства четных и нечетных функций:

1)

2) Произведение двух четных и нечетных функций является четной функцией.

3) Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.

Справедливость этих свойств может быть легко доказана исходя из определения четности и нечетности функций.

Если f(x) – четная периодическая функция с периодом 2, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать:

Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается:

Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной функции:

Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом T = 2 на отрезке [-; ].

Заданная функция является нечетной, следовательно, коэффициенты Фурье ищем в виде:

Получаем:

.

Построим графики (рисунок 1) заданной функции и ее разложения в ряд Фурье, ограничившись первыми четырьмя членами ряда.

Рисунок 1

Пример: Разложить в ряд Фурье функцию с периодом . Данная функция четная, поэтому

Заметим, что

Получим ряд Фурье:

Разложение в ряд Фурье непериодических функций

Если функция задана на всей числовой оси и непериодическая, то её нельзя разложить в ряд Фурье, так как сумма тригонометрического ряда является периодической функцией.

Рассмотрим непериодическую непрерывную функцию на промежутке и построим ряд Фурье, который имел бы её своей суммой в этом интервале. Для этого рассмотрим вспомогательную функцию с периодом такую, что при . Разложив в ряд Фурье функцию , мы получили тем самым разложение на .

Если функция задана только в промежутке , то для разложения её в ряд Фурье на этом промежутке, нужно сначала продолжить её каким–то образом на промежуток , а затем продолжить периодически с периодом на всю числовую ось. Чаще всего на промежуток функцию продолжают чётным или нечётным образом.

Пример. Разложить функцию заданную на [0; 1] в ряд по синусам. Продолжим данную функцию в интервал (-1, 0) нечётным образом, а затем продолжим периодически с периодом 2e=2 на всю числовую ось. Тогда

Получаем ряд Фурье: .

Ряды Фурье для функций любого периода

Ряд Фурье для функции f(x) периода Т = 2l, непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке

[-l, l] имеет вид:

Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид:

Для нечетной функции:

Ряд Фурье по ортогональной системе функций

Определение. Функции (х) и (х), определенные на отрезке [a, b], называются ортогональными на этом отрезке, если

Определение. Последовательность функций ₁(x), ₂(x), …, _n(x), непрерывных на отрезке [a, b], называется ортогональной системой функций на этом отрезке, если все функции попарно ортогональны.

Отметим, что ортогональность функций не подразумевает перпендикулярности графиков этих функций.

Определение. Система функций называется ортогональной и нормированной (ортонормированной), если

Определение. Рядом Фурье по ортогональной системе функций ₁(x), ₂(x), …,_n(x) называется ряд вида: коэффициенты которого определяются по формуле:

,

где - сумма равномерно сходящегося на отрезке [a, b] ряда по ортогональной системе функций. f(x) – любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a, b].

В случае ортонормированной системы функций коэффициенты определяются: