Материал: Вычисление интегралов с использованием тригонометрических формул

Интеграл Фурье

Пусть функция f(x) на каждом отрезке [-l, l], где l – любое число, кусочно–гладкая или кусочно–монотонная, кроме того, f(x) – абсолютно интегрируемая функция, т.е. сходится несобственный интеграл .

Тогда функция f(x) разлагается в ряд Фурье:

Если подставить коэффициенты в формулу для f(x), получим:

+ .

Переходя к пределу при l, можно доказать, что и . Обозначим при l u_n 0.

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства, равен интегралу

Тогда - двойной интеграл Фурье.

Окончательно получаем:

- представление функции f(x) интегралом Фурье.

Двойной интеграл Фурье для функции f(x) можно представить в комплексной форме:

.

Преобразование Фурье

Определение. Если f(x) – любая абсолютно интегрируемая на всей числовой оси функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на каждом отрезке, то функция

называется преобразованием Фурье функции f(x).

Функция F(u) называется также спектральной характеристикой функции f(x).

Если f(x) – функция, представимая интегралом Фурье, то можно записать:

Это равенство называется обратным преобразованием Фурье. Интегралы и называются соответственно косинус - преобразование Фурье и синус – преобразование Фурье.

Косинус – преобразование Фурье будет преобразованием Фурье для четных функций, синус – преобразование – для нечетных.

Преобразование Фурье применяется в функциональном анализе, гармоническом анализе, операционном исчислении, теории линейных систем и др.

_{Примеры разложения функций в ряды Фурье}

_{Пример. Периодическая функция ƒ(x) с периодом 2π определяется следующим образом: ƒ(x)=х , -π<x≤π (рисунок 2).}

_{Эта функция – кусочно-монотонная и ограниченная. Следовательно, её можно разложить в ряд Фурье.}

y

x

_{Рисунок 2}

_{Находим:}

_{Интегрируя по частям, получим:}

_{Таким образом, получаем ряд:}

_{Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева, т. е. нулю.}

_{Пример. Периодическая функция ƒ(x) с периодом 2π определена следующим образом:}

_{Эта функция кусочно-монотонная и ограничена на отрезке [-π, π]. Вычислим ее коэффициенты Фурье:}

_{Следовательно, для рассматриваемой функции ряд Фурье имеет вид:}

_{Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва.}

_{Замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье}

_{Отметим следующее свойство периодической функции ψ(x) с периодом 2π:} , _{каково бы ни было число λ.}

_{Действительно, так как ψ(ξ - 2π) = ψ (ξ) , то, полагая x = ξ - π, можем написать при любых c и d:}

_{В частности, принимая с=-π, d=λ, получим:}

,

_{поэтому}

_{Указанное свойство означает, что интеграл от периодической функции ψ(x) по любому отрезку, длина которого равна периоду, имеет всегда одно и то же значение.}

_{При вычислении коэффициентов Фурье мы можем заменить промежуток интегрирования (-π, π) промежутком интегрирования (λ, λ+2π), т. е. можем положить}

(1)

_{где λ – любое число.}

_{Это следует из того, что функция ƒ(x) является, по условию, периодической с периодом 2π; следовательно и функция ƒ(x)cоsnx, и ƒ(x)sinnx являются периодическими функциями с периодом 2π. В некоторых случаях доказанное свойство упрощает процесс нахождения коэффициентов.}

_{Пример. Пусть требуется разложить в ряд Фурье функцию ƒ(x) с периодом 2π, которая на отрезке 0 <x≤ 2π задана равенством ƒ(x)=х. Эта функция на отрезке [-π, π] задается двумя формулами:}

_{В то же время на отрезке [0, 2π] гораздо проще она задается одной формулой ƒ(x)=х. Поэтому для разложения этой функции в ряд Фурье выгоднее воспользоваться формулами (1), приравняв λ=0.}

_.

_{Следовательно,}

Теория рядов Фурье первоначально была создана для решения дифференциальных уравнений. Поэтому, неудивительно, что ряды Фурье широко используются для поиска решений как обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений в частных производных.

Далее рассмотрим приложение рядов Фурье к решению некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений, а также к решению трех наиболее популярных типов уравнений математической физики:

• Уравнение теплопроводности

• Волновое уравнение

• Уравнение Лапласа

Пример. Найти решение в виде ряда Фурье дифференциального уравнения с граничными условиями

Решение.

Будем использовать разложение по нечетным гармоникам для построения неоднородного решения уравнения с заданными граничными условиями, можно записать правую часть уравнения в виде ряда . Предположим, что решение уравнения имеет вид Подставляя это в само уравнение, получаем соотношение

Поскольку коэффициенты при каждой гармонике в левой и правой части должны быть равны друг другу, получаем алгебраическое уравнение . Следовательно, решение исходного дифференциального уравнения описывается рядом

Пример. Найти периодические решения дифференциального уравнения , где k − константа, а f (x) − периодическая функция.

Решение.

Представим функцию f (x) в правой части уравнения в виде ряда Фурье:

Здесь комплексные коэффициенты Фурье определяются формулой

Предполагая, что решение уравнения представляется рядом Фурье Найдем выражение для производной: Подставляя это в исходное дифференциальное уравнение, получаем

Поскольку данное равенство справедливо при всех значениях n, то получаем следующее соотношение: Здесь c_n и k − известные числа. Следовательно, решение выражается формулой

Пример.

Используя разложение в ряд Фурье, решить одномерное уравнение теплопроводности с граничными условиями Дирихле: Т=Т₁ при x=0, и Т=Т₂ при x=L. Начальное распределение температуры задано функцией

Решение.

Сначала мы определим стационарное распределение температуры при заданных граничных условиях. Рассмотрим уравнение Интегрируя его, найдем общее решение: Коэффициенты C₁ и C₂ найдем из граничных условий: Т₀(0)=Т₁, Т₀(L)=Т₂. В результате получаем Построим теперь решение задачи, зависящее от времени. Введем новую переменную Граничные условия для y(x,t) принимают вид: а начальное распределение записывается в форме Принимая во внимание новые граничные условия, будет естественным искать решение в виде разложения по нечетным гармоникам. Тогда где коэффициенты b_n находятся по формуле