Материал: Введение в математическое моделирование технологического оборудования. курс лекций. Новокщенов С.Л., Бойко А.Ю

Сущность метода сеток состоит в аппроксимации искомой непрерывной функции совокупностью приближенных значений, рассчитанных в некоторых точках области – узлах. Совокупность узлов, соединенных определенным образом, образует сетку. Сетка, в свою очередь, является дискретной моделью области определения искомой функции.

Применение метода сеток позволяет свести дифференциальную краевую задачу к системе нелинейных в общем случае алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых значений функций.

В общем случае алгоритм метода сеток состоит из трех этапов.

Этап 1. Заключается в построении сетки в заданной области (дискретизация задачи).

Этап 2. Получение системы алгебраических уравнений относительно узловых значений (алгебраизация задачи).

Этап 3. Решение полученной системы алгебраических уравнений.

Наиболее часто в основе решателей современных расчетных пакетов используются два метода сеток:

1) метод конечных элементов (МКЭ);

2) метод конечных разностей (МКР).

Отличия этих методов отличаются друг от друга на этапах 1 и 2. На 3-ем этапе методы практически идентичны.

При проектировании наиболее ответственных деталей кривошипных прессов наибольшее применение в настоящее время получил метод конечных элементов (МКЭ). Для анализа с помощью МКЭ применяют специализированные САПР, в состав которых входят пре-процессор, решатель и пост-процессор.

Пре-процессор выполняет подготовку исходных данных для анализа, решатель осуществляет выбор метода и решение уравнений в постановке решения задач теории упругости в соответствии с исходными данными, а пост-процессор предназначен для анализа полученных результатов.

Работу решателей МКЭ в настоящей работе рассматривать нет необходимости, в виду того, что сейчас все уравнения и особенности МКЭ известны. Наибольшую трудность представляет отсутствие методик анализа данных конечно-элементного анализа реальных конструкций.

Расчет по МКЭ напряженно-деформированного состояния пресса проводят с использованием программного комплекса МАКС. В качестве пре-процессоров современных САПР МКЭ, как правило, используют современные CAD-системы, позволяющие создавать трехмерные модели деталей и сборочных единиц.

Остальные функции пре-процессоров, связанные с преобразованием геометрии в модель выполняют специальные программные модули, работа которых заключается в создании сетки конечных элементов для созданной модели.

Рис. 5. Рабочее окно САПР МКЭ МАКС for Windows

Постпроцессор большинства САПР МКЭ позволяет отобразить на экране дисплея:

1) примененную для моделирования данного тела сетку конечных элементов;

2) картины пространственного распределения в рассматриваемом теле полученных в результате моделирования узловых характеристик нагруженного состояния;

3) интересующее пользователя численное значение той или иной узловой характеристики нагруженного состояния тела в конкретном узле;

4) любую увеличенную пользователем часть изображения;

5) информацию, относящуюся к выбранному сечению;

6) несколько окон для рассмотрения различных фрагментов детали и (или) анализируемых характеристик нагруженного состояния.

Рис. 6. Рабочее окно системы SolidWorks, используемой в качестве препроцессора САПР МКЭ MAKC for Windows

Рис. 7. Рабочее окно постпроцессора

9.2. Задачи исследования напряженно-деформированного состояния

Для исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) пресса моделируется контактная система, состоящая из 12 тел – рис. 8:

1 – станина;

2 – плита подштамповая;

3 – опора эксцентрикового вала (букса);

4 – втулка в опоре;

5 – вал эксцентриковый;

6 – втулка;

7 – шатун;

8 – втулка;

9 – рычаг;

10 – ось;

11 – ползун;

12 – плита надштамповая.

Рис. 8. Модель а) станины и б) исполнительного механизма

Расчеты проводят при нагружении пресса и его элементов силовыми потоками:

- затяжки станины (в случае разъемной станины);

- центрального технологического нагружения пресса гидронагружателем.

Обычно вначале моделируется центральное нагружение пресса гидронагружателем в конечно-элементной модели имитируется следующим образом: сверху на плоскость дна цилиндра и снизу на плоскость пяты нагружателя усилие равномерно распределяется по кругам соответствующего диаметра. Величина нагрузки принимается равной ¼ от Рн, где Рн – номинальное усилие пресса.

В расчетную модель сила затяжки станины (при анализе соответствующей конструкции) Рз вводится заданием отрицательного зазора (натяга)  между гайкой и столом при равных нулю значениях зазоров по остальным стыкам пресса, где  - суммарная вертикальная деформация станины и стяжных шпилек с гайками.

Величина натяга или суммарной вертикальной деформации станины и стяжных шпилек с гайками получается из промежуточного конечно-элементного расчета и соответствует силе затяжки, равной Рз = 1,2 Рн.

Затяжка станины. Вертикальные деформации втулки сварной станины и подшипника коренной опоры эксцентрикового вала определены по центральному продольному сечению станины верхней и буксы как разницы перемещений соответствующих точек поверхностей указанных деталей.

После затяжки станины необходимо гарантированно обеспечить вертикальный диаметральный зазор в коренных опорах эксцентрикового вала не менее

 = _D  D (9.2)

где: _D, мм/мм – принятое значение относительного зазора;

D, мм – диаметр вала (подшипника).

Исходный (до затяжки станины) минимальный зазор

_и =  +  (9.3)

где: , мм – принятое по результатам расчета значение вертикальной деформации подшипника при затяжке станины.

9.3. Анализ напряженно-деформированного состояния

Анализ деформированного состояния элементов пресса проводят по значениям перемещений точек, показанных на рис. 9. В качестве параметров деформированного состояния вводятся деформации:

^k_i¸j = U^k_i - U^k_j, (9.4)

где k = x, y, z - символы координатных осей,

i¸ j - номера характерных точек станины,

U^k_i - перемещение i-й точки вдоль k-й оси.

Прогибы рабочих поверхностей плит надштамповой и подштамповой, стола и ползуна находятся по полученным расчетом по МКЭ значениям вертикальных перемещений соответствующих точек, показанных на рис. 10.

Абсолютное значение прогиба определяется по формуле:

^z_i¸j = U^z_i - U^z_j, (9.5)

где z – символ координатной оси,

i¸ j – номера характерных точек станины,

U^z_i – перемещение i-й точки вдоль оси z.

Значение относительного прогиба определяется по формуле:

 _I,j =  ^z _I,j / 2L _I,j (9.6)

где L _i,j – расстояние между точками i и j.

Картины рассчитанных характеристик могут иметь следующий вид (рис. 11).

Рис. 9. Характерные точки для определения вертикальных деформаций и прогиба пресса

Рис. 11. Вертикальные перемещения станины пресса при затяжке	Рис. 12. Вертикальные перемещения станины пресса, подштамповой плиты и нагружателя при действии сил нагружения пресса и затяжки станины
Рис. 13. Вертикальные перемещения ГИМ при нагружении пресса

Вопросы для самоподготовки:

1. В чем заключаются задачи исследования напряженно-деформированного состояния?

2. Перечислите основные этапы анализа напряженно-деформированного состояния элементов конструкции?

Лекция №10 Задачи оптимизации конструкций механизмов и кузнечно-штамповочных машин

Теоретические вопросы:

10.1. Задачи обеспечения производства и классификация задач оптимизации

10.2. Оптимизация структуры объекта проектирования

10.3. Автоматизация поиска оптимума

10.1. Задачи обеспечения производства и классификация задач оптимизации

В производстве задачи оптимизации возникают при проектировании, разработке технологических процессов и в управлении. Вопросы получения оптимального решения основаны на применении ЭВМ и специализированных математических моделях. Вообще следует отметить, что оптимизационные задачи, как нелинейные, имеет смысл решать в системах САПР только тогда, когда они относительно просты и время вычислений незначительно. И основные этапы решения задачи принятия оптимальных решений с помощью ЭВМ можно представить в виде следующего алгоритма (рис. 14):

1. выбор задачи;

2. составление модели;

3. составление алгоритма;

4. составление программы;

5. ввод исходных данных.

Классификацию задач оптимизации, возникающих на производстве, выполняют по следующим признакам: область применения; содержание задачи; класс математической модели.

Рис. 14. Основные этапы решения оптимизационной задачи с помощью ЭВМ

Обеспечение производства включает организацию и управление, проектирование изделий, разработку технологических процессов и наиболее часто встречаются следующие задачи оптимизации (табл. 3).

Таблица 3

Рассматриваемые задачи оптимизации, которые требуют своего решения в технических системах, как правило, являются нелинейными и с точки зрения математической постановки относятся к задачам математического программирования.

Задача оптимизации может быть решена достаточно просто, если количество всевозможных вариантов ограничено и эффективность каждого из них заранее известна, однако в некоторых случаях решение такого рода задач может потребовать учета тысяч различных параметров с применением сложных математических методов.

Тем не менее, существуют определенные шаги, которые оказываются общими для решения его задач оптимизации:

- выбор источников затрат, которые должны быть сведены к минимуму, или достичь максимального увеличения эффективности узлов технической системы;

- определение управляемых параметров, оказывающих наибольшее влияние на характеристики затрат и эффективности;

- поиск решения задачи оптимизации, а именно выбор оптимальных параметров, обеспечивающих наименьшие затраты и максимальную выгоду.

Результаты решения задачи оптимизации конструкций определяет целевая функция, при построении графика, отображающего вклад каждого из параметров в общую характеристику затрат, получают диаграмму эмпирической целевой функции. После этого оптимальный параметр может быть выбран исходя из данных, представленных на диаграмме.

Такой подход, названный методом Монте-Карло, особенно полезен в тех случаях, когда целевая функция имеет более чем один локальный минимум, т.е. множество точек, в которых значения функции меньше, чем в соседних, но не является абсолютным минимумом.

Усложнить задачу также могут ограничения, накладываемые на значения используемых параметров. Они могут исключать некоторые частные решения, которые обеспечили бы абсолютный минимум целевой функции.

10.2. Оптимизация структуры объекта проектирования

Каждый объект проектирования, помимо рассмотренных ранее свойств, характеризуется структурой и параметрами. Структура, которая определяет элементы объекта проектирования и связи между ними, должна обеспечить надежное функционирование и достижение целей, для решения которых создается новый объект.

При этом одним из определяющих понятий является понятие элемента структуры, под которым понимают такую составляющую объекта проектирования, структуру которой не рассматривают. Такую элементарную составляющую называют звеном. Каждое звено характеризуется своим набором параметров.

Структура объекта проектирования в задачах оптимизации представляется с помощью графов. При этом возможны два способа представления структуры. При первом способе звено изображается как вершина графа, а связи между звеньями изображаются дугами. Такой способ изображения структуры целесообразен в тех случаях, когда процесс функционирования объекта проектирования является непрерывным.

Если же процесс функционирования является дискретным, то его представляют в виде так называемых сетевых графиков, причем звено обозначают l, а общее число звеньев L.

Таким образом, методика оптимизации структуры будет состоят из следующих трех частей:

1. Сбор исходных данных. Для решения задачи оптимального проектирования необходимы исходные данные, которые включают следующие категории:

- назначение, структура и параметры объекта проектирования. Исходными данными при проектировании изделия, как правило, являются указанные в техническом задании на разработку значения номинальных параметров, требований стандартов и технологии изготовления к определенным характеристикам изделия. В зависимости от назначения проектируемого изделия может быть указан критерий качества (или эффективности) для разрабатываемой машины, схемы или процесса. Естественным является стремление в процессе проектирования получить наилучшее значение этого критерия, поэтому такой критерий называют критерием оптимальности проектируемого объекта. В качестве критерия оптимальности в зависимости от характера и назначения проектируемого объекта может быть принята его стоимость, масса, потребляемая мощность, КПД, или другая, более сложная характеристика. Таким образом, при оптимальном проектировании необходимо определить и обосновать критерий оптимальности проектируемого изделия и четко выделить показатели и характеристики R₁, R₂, …, R_m;

- характеристики звеньев.

2. Составление математической модели. Математическая модель задачи оптимизации включает три элемента: целевую функцию, ограничения и граничные условия. Ограничения содержат две группы зависимостей: зависимости параметров объекта проектирования от параметров звеньев; зависимости между параметрами звеньев и параметрами.