Материал: Введение в математическое моделирование технологического оборудования. курс лекций. Новокщенов С.Л., Бойко А.Ю

; (8.2)

где n_, n_b - коэффициенты запаса статической прочности.

Одним из важнейших критерием расчета любой механической конструкции является условие прочности. Оно считается выполненным, если фактически действующее напряжение не превышает допускаемое. Поэтому условие прочности имеет вид:

- по пределу текучести – <_;

- по пределу прочности - _.

Действующая на тело внешняя нагрузка, как известно, приводит к его деформированию и последующему появлению внутренних напряжений. Величины перемещений точек тела, вызванных действием внешних сил, определяют деформированное состояние механической системы, которое в свою очередь может существенно влиять на ее работоспособность. Кроме перемещений, в практике проектирования используют понятие жесткости. Жесткость как физическое понятие представляет собой способность тела сопротивляться внешнему деформированию и численно равна нагрузке, которая вызывает единичное перемещение. Величина, обратная жесткости называется податливостью. Податливость характеризует способность тела перемещаться (деформироваться) под действием внешнего силового воздействия. Единицей измерения податливости служит перемещение точки тела под действием единичной силы. Очевидно, что расчет жесткости напрямую связан с определением перемещений рассматриваемых точек детали. При этом следует различать природу возникновения деформаций. Если при нагружении детали деформация распределена по всему объему, то ее можно считать объемной. Имеют место также деформации контактные, которые в отличие от объемных локализованы внутри малых по сравнению с размерами тела объемах и быстро затухают. Необходимо, однако, отметить, что такое деление деформаций на объемные и контактные является условным. В немногочисленных частных случаях объемные и контактные деформации можно рассчитать аналитическими методами. Но для решения задачи расчета полей перемещений в деталях произвольной геометрической формы используются исключительно численные методы. И наиболее часто при расчете напряженно-деформированного состояния конструкций рассматриваются следующие случаи – сдвиг, кручение и изгиб.

Сдвиг. Сдвигом называется вид нагружения, при котором в поперечных сечениях действует только поперечная сила, приводящая к сдвигу частей тела друг относительно друга вдоль линии действия этой силы.

Кручение. Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только крутящий момент M_t, а остальные силовые факторы (нормальная и поперечная силы и изгибающий момент) равны нулю. Кручение элемента конструкции происходит при нагружении его внешними моментами вращения (парами сил) T, плоскости действия которых нормальны по отношению к продольной оси этого элемента.

Изгиб. Изгибом называется такой вид деформации, при котором под действием силовых факторов, вызывающих поперечное смещение оси бруса, наблюдается изменение кривизны его продольной оси. В результате продольные слои бруса нагружаются неравномерно: одни из них увеличивают первоначальную длину (удлиняются), в то время как другие - уменьшают (укорачиваются). В настоящее время наибольшее применение для решения прикладных инженерных задач получили два метода: метод конечных элементов (МКЭ) и метод конечных разностей (МКР).

Метод конечных элементов. Характерной особенностью метода конечных элементов, относящегося к так называемым прямым методам, является то, что процедуры для отыскания числовых полей неизвестных функций в теле (таких как перемещения, напряжения, силы) строятся на основе вариационных принципов механики упругого тела без непосредственного использования дифференциальных уравнений. Заметим, что в настоящее время МКЭ является самым эффективным прямым методом приближенного решения прикладных задач механики.

Метод конечных разностей. Метод конечных разностей – представляет собой метод приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений.

8.2. Базовый язык программирования MathCAD

Ни одна серьезная разработка в любой отрасли науки и производства не обходится без трудоемких математических расчетов. Для их проведения используются программы, составленные с использованием конструкций языков высокого уровня (таких как ФОРТРАН, PASCAL, CИ и других). Однако разработка таких программ, особенно имеющих современный графический интерфейс требует и соответствующей подготовки в практике программирования и достаточно большого времени (и то и другое может отсутствовать у инженера или исследователя). Широкую известность и заслуженную популярность еще в середине 80-х годов приобрели интегрированные системы для автоматизации математических расчетов класса MathCAD, разработанные фирмой MathSoft (США) [1,2]. По сей день они остаются единственными математическими пакетами, в которых описание решения математических задач дается с помощью привычных математических формул и знаков. Такой же вид имеют и результаты вычислений.

Основная область применения MathCAD – решение любых алгебраических, дифференциальных и интегральных уравнений. Для решения одного уравнения с одним неизвестным можно использовать функции root, polyroot или find. MathCAD решает уравнения или системы уравнений итерационным методом, поэтому перед решением необходимо задать начальное приближение всех корней. В MathCAD существует два самостоятельных процессора: численный и символьный, которые обычно не имеют связи друг с другом. Списки встроенных функций, которые используют символьный и численный процессоры, частично пересекаются. Часть встроенных функций, имеющих общепринятое математическое значение участвуют в символьных преобразованиях. Встроенные константы, имеющие общепринятое математическое значение, символьным и численным процессорами трактуются одинаково (, e и ). В версиях MathCAD6Plus и MathCAD7 Professional пользователям предоставлена возможность составлять "собственные" программы-функции и использовать принципы модульного программирования для реализации оригинальных вычислительных алгоритмов пользователя.

Это обеспечивается следующими функциями математического пакета, а именно:

- математические выражения и текст вводятся с помощью формульного редактора MathCAD, который по возможностям и простоте превосходит известные редакторы;

- математические расчеты производятся немедленно, в соответствии с введенными формулами;

- графики различных типов (по выбору пользователя) с богатыми возможностями форматирования вставляются непосредственно в документы;

- возможен ввод и вывод данных в файлы различных форматов;

- документы могут быть распечатаны непосредственно в MathCAD в том виде, в котором они были созданы;

- символьные вычисления позволяют осуществлять аналитические преобразования практически любой сложности.

Программы MathCAD представляют собой записанный в виде последовательности формул алгоритм решения задачи. Подобно любому выражению, программа-функция возвращает значение, если за ней следует знак равенства.

Программа-функция состоит из названия выражения, следующего за ним знака присваивания значения и необходимых выражений в правой части, записанных в столбик и объединенных слева вертикальной чертой. Создание программы начинается с создания специально обособленного от остального документа блока. Обычно программа на языке программирования содержит больше чем две строки, поэтому лучше сразу задать блок из 5-6 маркеров. Для присвоения значений переменным, выражениям или константам в программах используется специальный оператор (Local Definition – Локальное определение “<-“), расположенный на панели Programming (Программирование).

Практически любая программа строится с использованием специальных операторов, при использовании которых следует придерживаться следующих принципов:

1. чтобы задать нужный оператор следует использовать соответствующие команды панели инструментов Programming (Программирование);

2. условий для каждого оператора задать несколько;

3. подобно заданию комплекса условий, операций, которые должны быть проведены в случае его выполнения, также можно как задать отдельный блок, так и использовать логические операторы. Для задания цикла в языке программирования используются два оператора. При помощи первого – оператора простого цикла For – можно организовывать выполнение операции или проверку условия для ряда конкретных значений переменной. Оператор For имеет три маркера:

Пример 1 Структура оператора For

В двух верхних маркерах, соединенных символом принадлежности, задается имя переменной, по которой организуется цикл, и ряд принимаемых ею значений. В нижнем маркере определяется операция или комплекс операций, которые должны быть выполнены для каждого значения переменной.

При помощи оператора цикла While (Пока) можно организовывать цикл, который будет работать до тех пор, пока выполняется некоторое условие. Оператор While имеет два маркера, в которые вводятся условие работы цикла и выражения операций, которые должны быть проделаны на каждом его витке:

Пример 2 Структура оператора While

Из всех программных операторов наиболее важным является оператор условия If (Если) или точка ветвления. ВЕТВЛЕНИЕ - это команда алгоритма, в которой делается выбор: выполнять или не выполнять какую-нибудь группу команд в зависимости от условия. Его приходится использовать практически во всех алгоритмах, предназначенных для автоматизации инженерных расчетов. Оператор условия If имеет два маркера:

Пример 3 Структура оператора If

В правый маркер вводится условие, в левый – операция, которая должна быть проделана в случае, если условие выполнится (если же оно не выполняется, система просчитывает программу пропуская данный фрагмент). Оператор Otherwise (Иначе) предназначен для определения того действия, которое должно быть выполнено, если условие оператора If окажется неистинным. При помощи оператора Return (Возвратить) можно прервать работу программы и выдать некоторое значение при выполнении заданного условия. Обычно данный оператор используется при описании действий алгоритма в случае ошибочной ситуации. Любая вычислительная схема или математическая модель может работать корректно только при определенных условиях и ограничениях. Так, например, в большинстве методов численного решения нелинейных уравнений обязательным требованием на каждом шаге работы алгоритма является то, что производная не может принимать значение, равное 0. Если же окажется так, что очередное приближение приведет к необходимости произвести подсчет вблизи экстремума или точки разрыва, то возникнет неопределенность деления на 0, работа программы будет остановлено и выдано сообщение об ошибке. Во избежание подобных ситуаций в языке программирования рассматриваемой системы используется специальный оператор обхода ошибки On Error:

Пример 4 Структура оператора On Error

По своему синтаксису данный оператор полностью соответствует полностью условному оператору If. В правый его маркер вводят величину или выражение, ошибка в вычислении которого должна быть зарегистрирована.

8.3. Оптимизация численных вычислений и обработка экспериментальных данных

Кроме перечисленных возможностей MathCAD обладает функциями, связанными с оптимизацией решений, которые прежде всего связываются с упрощением и разложением выражений. Так, если активировать специальные опции, то перед вычислением каждого выражения символьный процессор MathCAD будет пытаться упростить все выражения для ускорения и уточнения вычислений. Однако, при работе с символьным процессором следует помнить, что:

- многие вычисления могут быть выполнены только численно;

- многие вычисления возвращают такие длинные ответы, что их неудобно использовать (такие вычисления лучше выполнять численно).

Следует отметить, что:

- в инженерных расчетах к символьным операциям приходится прибегать довольно редко;

- в ряде случаев вообще не существует символьного результата вычислений;

- ряд символьных операций вообще проще выполнить вручную, чем обращаться к MathCAD.

Следует отметить, что оператор упрощения выражений simplify (Упростить) является одним из самых часто используемых операторов MathCAD. С его помощью можно упрощать алгебраические выражения (наиболее эффективно), выражения, содержащие логарифм и степень (только наиболее простые), а также выражения с некоторыми специальными функциями. Под разложением выражения понимается математическое преобразование, переводящее степени и произведения в более простые для анализа суммы. Для выполнения этой работы в MathCAD существует специальный оператор expand (разложить). Произвести разложение выражений на множители в системе MathCAD можно при помощи оператора factor. По функциям данный оператор не является полной противоположностью оператору expand и имеет ряд ограничений.

При обработке экспериментальных данных, как правило, возникает задача аппроксимации результатов эксперимента аналитической зависимостью y=f(x), которую можно использовать в последующих расчетах. Существует три возможности аппроксимации данных:

1. аппроксимирующая функция f(x) должна пройти через все опытные точки. Такой способ аппроксимации называется интерполяцией;

2. аппроксимирующая функция должна сглаживать (усреднять) опытные данные. Такой способ аппроксимации называется регрессией, или сглаживанием;

3. аппроксимирующая функция должна отбрасывать систематическую погрешность (так называемые шумы, наловившиеся на экспериментальные данные). Такой способ называется сглаживанием с фильтрацией данных.

Самым простым видом интерполяции, заключающимся в обычном попарном соединении точек отрезками прямых, является линейная интерполяция. Для задания ломанной линейной интерполяции в MathCAD существует встроенная функция linterp(x, y, z), где x – имя вектора координат обработки данных по оси абцисс; y – имя вектора по оси ординат; z – переменная, от которой зависит аппроксимирующая функция. Задачей регрессивного анализа является установление параметров экспериментальной зависимости с учетом того, что эмпирические точки получены с некоторой погрешностью. Часто назначение регрессии упрощают до построения гладкой кривой между точками опытных данных. В MathCAD различают линейную, полиномиальную, двухмерную полиномиальную и регрессию специального вида. Задачи сглаживания встречаются наиболее часто в радиотехнике и электронике и заключаются в устранении шумов – высокочастотных и случайных составляющих в сигнале. Алгоритмы, позволяющие решить эту задачу используются в MathCAD, и называются алгоритмами сглаживания (smoothing).

Вопросы для самоподготовки:

1. Опишите современные методы решения задач исследования кузнечно-штамповочного оборудования?

2. Укажите назначение и опишите особенности базового языка программирования MathCAD?

3. Какими методами обеспечивается оптимизация численных вычислений и обработка экспериментальных данных?

Лекция №9

Исследование математических моделей кузнечно-штамповочных машин с использованием современных ЭВМ и программного обеспечения

Теоретические вопросы:

9.1. Краевые задачи при проектировании технических объектов

9.2. Задачи исследования напряженно-деформированного состояния

9.3. Анализ напряженно-деформированного состояния

9.1. Краевые задачи при проектировании технических объектов

Проектирование кузнечно-прессового оборудования связано с необходимостью анализа непрерывных физических процессов, математическим описанием которых являются системы уравнений.

Развитие современного машиностроения потребовало создания теории проектирования, охватывающей весь процесс конструирования машин и, в частности, применения систем автоматизированного проектирования (САПР). Эта необходимость возникла в связи с усложнением машин и все более ужесточающимися требованиями и сроками ввода новых машин в эксплуатацию и соответствующим срокам их проектирования.

Первой наиболее важной задачей при проектировании кузнечно-прессовых машин является определение прочности узлов и элементов конструкции при различных видах нагружения.

Напряженное состояние деталей конструкции в зависимости от геометрии исследуемого узла, вида приложенной нагрузки и свойств материала описывается дифференциальными уравнениями различного вида. Любое из этих уравнений может быть получено из общего квазигармонического уравнения

(9.1)

где x, y, z – пространственные координаты;  – искомая непрерывная функция; K_x, K_y, K_z – коэффициенты; Q – внешнее воздействие.

Уравнения, описывающие большинство явлений, возникающих при работе КПО и выведенные из (9.1) имеют множество решений. Для получения единственного решения необходимо задавать краевые условия. При этом сведения об искомых непрерывных функциях на границах рассматриваемых областей называют граничные условия, а в случае нестационарных задач – значения этих же функций в начальный момент времени – начальные условия.

Исходное дифференциальное уравнение в частных производных вместе с краевыми условиями называется краевой задачей и представляет собой математическую модель исследуемого объекта. Граничные условия в краевых задачах могут задаваться различными способами. Так, на границе рассматриваемой области можно задать:

а) значение искомой функции;

б) значения производных по пространственным координатам от искомой функции;

в) уравнение баланса потоков.

При этом в случаях а) - в) говорят о граничных условиях первого, второго и третьего рода.

Точное решение краевых задач удается получить лишь для немногих частных случаев.

Поэтому в настоящее время наиболее широкое распространение получили модели на основе интегральных уравнений и модели на основе метода сеток.

Основная идея построения модели на основе интегральных уравнений заключается в переходе от исходного дифференциального уравнения в частных производных к эквивалентному интегральному уравнению, подлежащему дальнейшим преобразованиям.