Материал: Введение в математическое моделирование технологического оборудования. курс лекций. Новокщенов С.Л., Бойко А.Ю

_xy – угловые погрешности, обусловленные появлением угла закручивания в результате наличия крутящих моментов на ползуне.

Раскрыв левые части зависимостей, получают уравнения для расчета точности пресса в декартовой системе координат. Для определения погрешностей пресса под нагрузкой необходимо определить 6 параметров на уровне зеркала матрицы. Учитывая, что положение матрицы относительно стола пресса не является постоянным и меняется в зависимости от конструктивного исполнения штампа, следовательно, необходимо найти, как минимум, два крайних значения. Последующие расчеты выполняют для уровня зеркала матрицы, в котором погрешности принимают максимальные значения.

22.3 Алгоритмы параметров точности пресса

Таким образом, на основании выполненного аналитического обзора погрешностей кузнечно-прессового оборудования структуру точности при обработке металлов давлением можно представить следующим образом (рис. 25).

Рис. 25. Структура точности кривошипного пресса

Приведенная структура точности прессов дает наглядное представление о том, что действующие ГОСТы на нормы точности кузнечно-прессового оборудования не отвечают современным требованиям. Так, в последних нашли отражения лишь погрешности изготовления при сборки, которые не имеют технического обоснования, а учет точности, вызванной кинематическими погрешностями, погрешностями пресса под нагрузкой, отсутствует.

Алгоритм расчета параметров точности пресса представлен на рис. 26.

Рис. 26.

Вопросы для самоподготовки:

1. Какие параметры влияют на точность кривошипных прессов?

2. Приведите математическую модель вычисления точности пресса?

3. Опишите алгоритмы вычисления параметров точности пресса?

Лекция №23 Алгоритмизация оптимизационных расчетов

Теоретические вопросы:

23.1. Задачи и модели оптимального проектирования

23.2. Учет ограничений в задачах случайного поиска

23.3. Алгоритмы структурной оптимизации

23.1. Задачи и модели оптимального проектирования

В большинстве задач оптимального проектирования свойства оптимизируемого технического объекта отражают при помощи математической модели макроуровня. Но в ряде случаев связь между параметрами оптимизации не удается адекватным образом выразить при помощи таких моделей и приходится привлекать математические модели микроуровня. В случае параметрического синтеза проектируемой системы, алгоритм решения задачи оптимизации, основанной на модели микроуровня, имеет параметрический характер.

C[N+1] = C[N] + C[N+1] (23.1)

Где приращение C[N+1] вектора параметров C[N] определяется алгоритмом поиска, использующим приращение:

Q[N] = Q[N] - Q[N-1] (23.2)

Для решения таких задач используются следующие алгоритмы:

- алгоритм случайного спуска;

- случайный поиск с возвратом;

- релаксационный алгоритм случайного спуска;

- случайный поиск по наилучшей пробе;

- адаптивные параметрические алгоритмы случайного спуска.

Алгоритм случайного спуска

Этот алгоритм построен с помощью только двух операторов:

• оператора случайного шага ( ) и

• оператора повторения предыдущего шага (+),

Рекуррентная форма записи этого алгоритма имеет вид:

(23.3)

где a - величина шага ( )

- единичный случайный вектор распределенный по всем направлениям пространства оптимизированных параметров {C}

Алгоритм имеет очень простую геометрическую интерпретацию. Это по сути дела, спуск шагами а в выбранном направлении . Как видно это стохастический аналог известного алгоритма наискорейшего спуска, в котором спуск производится в антиградиентом направлении. Преимущество алгоритма случайного спуска заключается в том, что здесь нет затрат на определение градиентного направления. Алгоритм случайного спуска опирается на следующие очевидное предположение относительно объекта оптимизации: вероятность удачи ( Q < 0) в ранее удачном направлении больше, чем в случайном, т.е. целесообразно повторить удачные шаги, а при неудаче ( Q 0) делать случайный шаг, т.е. обращаться к оператору . Такая ситуация обычно имеет место вдали от экстремума С_оп, что и определяет рекомендуемую область применения для алгоритма случайного спуска.

Случайный поиск с возвратом

Этот метод поиска моделирует метод проб и ошибок. Алгоритм этого метода построен из двух операторов: оператора случайного шага ( ) и оператора возврата (-). Его работоспособность обеспечивается за счет того, что используется только удачные случайные шаги, а неудачные устраняются (точнее, исправляются) с помощью оператора возврата (-). Рекуррентная формула алгоритма имеет вид:

C[N+1]= (23.4)

Рассмотрим область целесообразного использования этого алгоритма. Анализ показывает, что его следует применять в ситуациях со значительной нелинейностью функционала Q(C), когда целесообразно повторить удачные шаги, так как вероятность повторного успеха в этом случае мала. Такой бывают ситуация в районе экстремума С_оп или релаксационного алгоритма случайного спуска на дне “оврага” минимизируемой функции. Именно в таких случаях целесообразно применение этого алгоритма.

Релаксационный алгоритм случайного спуска

Введение возврата в алгоритм случайного спуска обеспечивает ему релаксационные свойства, т.е. не увеличивает минимизируемый функционал. Рекуррентная формула графа имеет вид:

= (23.5)EMBED Equation.3

Здесь - знак конъюнкции, требующий одновременности выполнения событий, указанных в скобках.

Случайный поиск по наилучшей пробе

Алгоритм имеет вид:

(23.6)

где _оп - случайный вектор, минимизирующий функционал в районе точки С[N]:

Q(C[N] + g _оп) = min Q(C[N] + g _j), (23.7)

^{i = 1,.,.,m}

_j - случайные независимые единичные векторы, с помощью которых обеспечивается режим случайных проб вокруг точки C[N].

Если величина g мала и функционал в районе С[N] достаточно гладкий, то можно повысить эффективность алгоритма следующим образом:

, (23.8)

где

(23.9)

и

(23.10)

В этом случае шаг делается по наилучшей пробе _, если модуль приращения функционала при этом больше модуля его приращения при наихудшей пробе ₊, и по наихудшей пробе ₊ в обратном случае.

Адаптивные параметрические алгоритмы случайного поиска

Многочисленные ситуации, складывающиеся в процессе решения задачи оптимизации типа “холм”, “яма”, “плоскогорье”, “хребет”, “овраг” и т. д. Заставляют искать средства такой перестройки алгоритма поиска, чтобы эти ситуации преодолевались бы с минимальными затратами. Такого рода перестройка алгоритма, реализуемая формально, является адаптацией этого алгоритма. Таким образом, задача адаптации процесса поиска возникает всегда, когда алгоритм необходимо изменять в процессе поиска, чтобы поддержать его эффективность на необходимом уровне.

Проблема адаптации возникает всегда при оптимизации сложных объектов, когда нельзя заранее указать на ситуацию, в которую попадает алгоритм поиска. Такого рода неопределенность типична для задач проектирования систем автоматического управления.

Параметрическая адаптация алгоритма случайного поиска опирается на то, что параметрами алгоритма случайного поиска являются величина рабочего шага a и параметра плотности распределения p( ) случайного шага .

Заметим, что случайный поиск отличается от любого детерминированного именно наличием такого распределения, изменение которого позволяет адаптировать случайный поиск. Этой “рукоятки” управления процессом поиска не имеют регулярные алгоритмы, что выгодно отличает случайный поиск. Рассмотрим адаптацию по каждому на указанных факторов отдельно.

23.2. Учет ограничений в задачах случайного поиска

Проблема многопараметрической оптимизации в задачах оптимального проектирования всегда имеет условный характер, т. е. Связана с обязательным выполнением ограничений S(15.1.2). Случайный поиск как метод решения условных задач (15.1.1) отличается рядом преимуществ по сравнению с детерминированными методами. У случайного поиска имеются возможности, связанные со случайным характером поиска, которых в принципе не может иметь не один детерминированный метод решения задачи условной оптимизации.

Рассмотрим различные виды ограничений. Они могут иметь троякий характер. К ограничениям типа неравенств и равенств (15.1.2)

S_H: h_i(C) 0, i= ; S_G: g_j(C)=0, j= , (23.11)

добавим ограничения, связанные с дискретностью ряда функций оптимизирующих параметров

S_D:f_z(C) , z= (23.12)

где f_z(^.) - заданные функции, а - заданное значение, которое может принимать 2-я функция (r= ). В частном случае при f_z(C)=c_z получаем

S_D:Cz (23.13)

где - значение, которые может принимать z-я переменная (например, целочисленные значения).

Область поиска S, вообще говоря, может быть образована путем различных комбинаций пересечения областей S_H, S_G, S_D. Разумными комбинациями в общем случае являются лишь две. Первая: S=S_H S_G как известно, связана с непрерывными задачами математического программирования, а вторая: S=S_H S_D - с задачами дискретного программирования.