Материал: Введение в математическое моделирование технологического оборудования. курс лекций. Новокщенов С.Л., Бойко А.Ю

При экспериментальном исследовании кузнечно-прессового оборудования (КПО) возникает необходимость определения зависимости или оптимальных значений различных параметров от совокупности влияющих факторов. Первую задачу называют интерполяционной, а вторую – экстремальной.

Для их решения необходимо иметь математическую модель исследуемого свойства объекта, которую получают по результатам опытов. Классический метод постановки эксперимента предусматривает фиксирование на принятых уровнях всех переменных факторов, кроме одного, значения, которого изменяют в области его существования, и по существу представляет собой последовательность однофакторных экспериментов.

Использование такого метода для всестороннего исследования многофакторных систем требует постановки чрезвычайно большого числа опытов. Получение по результатам этих опытов частные зависимости трудно, а порой и невозможно объединить их в одну общую, поэтому для изучения многофакторных систем наиболее целесообразным является применение статистических методов планирования эксперимента, которые позволяют при минимальном числе опытов получать модели многофакторных процессов.

Под планированием эксперимента понимают процесс определения числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

В связи с высокой трудоемкостью натурного экспериментального исследования КПО все большее распространение находят методы математического моделирования на ЭВМ физических процессов, протекающих в исследуемом объекте с реализацией так называемых “теоретических экспериментов”.

Результаты проведенных натурных или теоретических опытов, раскрывающие зависимости того или иного свойства исследуемого объекта от совокупности влияющих факторов, используются для математического анализа на экстремум при решении задач оптимизации. В интерполяционных задачах полученные математические модели позволяют прогнозировать величину количественной характеристики исследуемого свойства объекта при различных комбинациях значений влияющих факторов. На практике удобно пользоваться не самой математической моделью, а отражающей ее номограммой.

Основные понятия планирования эксперимента

К объекту исследования (ОИ) предъявляют следующие требования:

1. ОИ должен удовлетворять воспроизводимости, т.е. при многократном повторении опытов разброс значений их результатов не должен превышать некоторой заданной величины;

2. ОИ должен быть управляемым. На реальный объект действуют управляемые и неуправляемые факторы. Последние могут служить причиной нарушения воспроизводимости результатов эксперимента. Если требование воспроизводимости удовлетворяется, возможно активное вмешательство в исследуемый процесс и выбор опытов управляемых факторов на требуемых уровнях (активный эксперимент). ОИ, на котором возможен активный эксперимент, называют управляемым. Параметр оптимизации (ПО) – характеристика цели исследования. ПО должен быть:

1) количественным;

2) доступным для изменения;

3) выраженным одним числом;

4) однозначным в статистическом смысле, т.е. заданному сочетанию уровней факторов должно соответствовать одно (с точностью до ошибки эксперимента) значение ПО;

5) эффективным в статистическом смысле, т.е. определяться с наибольшей точностью, что позволяет сократить число параллельных опытов;

6) существовать для всех состояний ОИ;

7) иметь физический смысл.

Если измерение ПО невозможно, то пользуются ранговой оценкой. Ранг – это оценка ПО по заранее выбранной шкале: двухбалльной, пятибалльной, десятибалльной и т.п.

Факторы – независимые переменные, влияющие на ПО. Факторы должны быть:

1) управляемыми, т.е. позволяющими устанавливать и поддерживать в течение опыта их значения;

2) непосредственно воздействующими на объект;

3) совместимыми.

Уровень – значение факторов в эксперименте.

Основной (нулевой) уровень – значение фактора, принятое за исходное в плане эксперимента. Основные уровни факторов выбирают таким образом, чтобы их сочетание отвечало значению ПО по возможности более близкому к оптимальному.

Интервал варьирования фактора – число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний уровень фактора, а вычитание – нижний. Интервал варьирования не может быть меньше ошибки, с которой фиксируется уровень фактора. Максимальная величина интервала варьирования ограничивается областью определения фактора.

21.2. Методы обработки данных наблюдений

Методы обработки данных наблюдений базируются на положения теории вероятностей и математической статистики. Для изучения тех или иных явлений природы производят опыты или наблюдения. Предварительная обработка результатов измерений или наблюдений необходима для того, чтобы в дальнейшем с наибольшей эффективностью, а главное корректно использовать для построения эмпирических зависимостей статистические методы.

Содержание предварительной обработки в основном состоит в отсеивании грубых погрешностей измерения или погрешностей, неизбежно имеющих место при переписывании цифрового материала или при вводе информации в ЭВМ. Другим важным моментом предварительной обработки данных является проверка соответствия распределения результатов измерения закону нормального распределения.

Если гипотеза неприемлема, то следует определить, какому закону распределения подчиняются опытные данные и, если это возможно, преобразовать данное распределение к нормальному. Только после выполнения этих операций можно перейти к построению эмпирических формул, применяя, например, метод наименьших квадратов.

Часто при изучении явлений природы и процессов, происходящих в кузнечно-прессовых машинах, можно встретить величины, изменяющиеся с течением времени по экспоненте. Используя методику регрессионного анализа можно предсказать предельные значения изучаемых переменных.

Целью проведения большинства экспериментов является построение зависимостей типа y = f(x), к которым относятся большинство всех формул, используемых в научных и технических дисциплинах. По результатам эксперименты такие формулы обычно строили, применяя метод наименьших квадратов, однако только в последнее время с появлением ЭВМ, пригодных для выполнения расчетов очень большого объема, удается построить зависимости оптимальной формы.

21.3. Метод наименьших квадратов

Пусть имеется n пар наблюдений значений функции отклика y1, полученных при фиксированных (в смысле записанных) значениях xi. Для графического изображения этих пар наблюдений в виде экспериментальных точек с координатами x, y на плоскости применяется система декартовых координат.

Подобные результаты наблюдений могут быть получены в любой экспериментальной работе. Задача линейного регрессионного анализа (метода наименьших квадратов) состоит в том, чтобы зная положение экспериментальных точек на плоскости (рис. 24), так провести линию регрессии, чтобы сумма квадратов отклонений _i² вдоль оси O_y (ординаты) этих точек U от проведенной прямой была минимальной.

Для проведения вычислений по классическому методу наименьших квадратов (для проведения регрессионного анализа) к выдвигаемой гипотезе предъявляется следующее требование: это уравнение должно быть линейным по параметрам или допускать возможность линеаризации.

Рис. 24. Изображение экспериментальных точек

Уравнение прямой на плоскости в декартовых координатах

, (21.1)

где b₀, b₁ – постоянные числа. Учитывая это, задачу метода наименьших квадратов аналитически можно выразить следующим образом:

, (21.2)

где , или

(21.3)

Построенная таким образом линия регрессии позволяет в данном случае предсказать в заданном интервале любые значения функции y при отсутствующих в таблице значениях фактора x.

Вопросы для самоподготовки:

1. Приведите основные положения, необходимые при планировании эксперимента?

2. На чем базируются методы обработки данных наблюдений?

Лекция №22 Исследование параметров точности механических прессов

Теоретические вопросы:

22.1. Параметры точности кривошипных прессов

22.2. Математическая модель точности пресса

22.3. Алгоритмы параметров точности пресса

22.1. Параметры точности кривошипных прессов

Все возрастающая потребность промышленности в точном кузнечно-прессовом оборудовании ставит перед конструкторами проблему, заключающуюся в создании кузнечно-прессовых машин с большой точностью исполнительного механизма и при этом обладающих простотой конструкции, надежностью в работе и низкой себестоимостью. Точность системы “пресс-штамповый блок” существенно влияет на качество получаемых изделий и стойкость инструмента. Недостаточная точность прессов привела к тому, что в штампах стали применять собственные направляющие главным образом в виде колонок и втулок. Влияние перекосов ползуна на работу штампа снижается с помощью шарнирных хвостовиков различной конструкции. Анализ различных несовершенств системы “пресс-штамповый блок”, влияющих на стойкость инструмента, позволяет выделить три направления в повышении стойкости штампов, точности и качества получаемых изделий. Первое – увеличение жесткости и точности системы “пресс-штамповый блок”. Второе – совершенствование технологических процессов. Третье – использование устройств, позволяющих компенсировать влияние различных несовершенств системы “пресс-штамповый блок” на стойкость инструмента. В общем случае погрешности системы “пресс-штамповый блок” определяется следующими основными параметрами:

1. Геометрические погрешности:

а) погрешности сборки;

б) погрешности изготовления.

2. Кинематической погрешности.

3. Погрешности пресса под нагрузкой:

а) упругой деформации пресса;

б) контактной деформации пресса;

4. Погрешности штампового блока.

Геометрические погрешности характеризуют геометрическую точность прессов, под которой понимают точность ненагруженной, неработающей технологической машины. Кинематическая точность машины представляет собой степень приближения зависимостей, которые существуют между движениями звеньев механизмов к тем заданным зависимостям, для осуществления которых спроектированы и изготовлены механизмы. Отличие существующей в механизме зависимости от заданной называется ошибкой механизма. Основными целями расчета точности является прогнозирование уровня функциональной точности кинематической цепи машины при различных вариантах ее состояния. Отдельные варианты состояния кинематической схемы могут различаться:

- параметрами настройки сменных элементов;

- уровнем точности изготовления элементов;

- геометрическими параметрами элементов;

- кинематической структурой.

При расчете действующих погрешностей в детальной форме определяют следующие геометрические, кинематические и точностные параметры звеньев для каждого из вариантов кинематических схем проектируемой машины:

- индекс звена, обозначаемый в общем случае буквой i, а также шифр вида передачи;

- число зубьев zi колеса, число заходов zi шестерни;

- модуль mi зубчатого колеса (нормальный для косозубых колес) или шаг pi осевой резьбы.

- степень точности зубчатого венца или класс точности шестерни;

- класс точности подшипников;

- накопленная составляющая погрешности звена;

- циклическая составляющая погрешности звена;

- допускаемое радиальное биение подшипника;

- практически предельное радиальное биения комплекта промежуточных деталей вследствие их эксцентриситета и разностенности;

- коэффициент уменьшения радиального биения;

- допускаемое максимальное биение подшипника;

- практически предельное аксиальное биение комплекта промежуточных деталей вследствие их неперпендикулярности к оси вращения звена, а также торцового биения венца звена.

- коэффициент уменьшения аксиального биения;

- монтажная составляющая погрешности звена.

Результирующие данные о влиянии структуры и параметров вариантов кинематической цепи сводят в итоговую таблицу или диаграмму. При необходимости корректировки некоторых перспективных вариантов может быть произведен частичный пересчет кинематической цепи, в частности, с изменением степени точности отдельных звеньев.

22.2. Математическая модель точности пресса

Существующие нормативные материалы по определению геометрической точности кривошипных прессов не позволяют задавать необходимую точность и качество штампуемых изделий, поэтому возникла необходимость разработки методики расчета точности прессов при работе под нагрузкой. Основу таких методик составляют допускаемые несовершенства кривошипных прессов, выявленные при штамповке изделий и определяющие работоспособность штампов. Как известно, на стойкость штампов, точность и качество изделий влияют многочисленные погрешности системы “пресс-штамповый блок”. Суммарную погрешность системы можно представить в следующем виде:

, (22.1)

где _П – неточность пресса под нагрузкой;

_Ш – неточность изготовления штампа и его масс во время работы;

_У, _И, _ИС – неточности установки штампа, измерения, исполнения;

_Н – неучтенные погрешности.

Многочисленные исследования выделили превалирующую погрешность DП, которую для открытых прессов можно представить следующей функциональной зависимостью:

, (22.2)

где [_П] – допускаемая неточность кривошипного пресса под нагрузкой;

_X – погрешность смещения оси пресса на уровне зеркала матрицы в плоскости, перпендикулярной фронту пресса, при динамически приложенной нагрузки;

_Y – погрешность смещения оси пресса на уровне зеркала матрицы в плоскости, параллельной фронту, при динамически приложенной нагрузке;

_XY, _YZ – угловые погрешности смещения оси пресса на уровне зеркала матрицы при динамически приложенной нагрузке соответственно перпендикулярно и параллельно фронту пресса;

_XY – угловые погрешности, обусловленные появлением угла закручивания в результате наличия крутящих моментов на ползуне.

Общую математическую модель точности пресса под нагрузкой представить в тензорной форме

, (22.3)

где [T] – допускаемое значение тензора;

_x – погрешность смещения оси пресса на уровне зеркала матрицы в плоскости, перпендикулярной фронту пресса, при динамически приложенной нагрузки;

_y – погрешность смещения оси пресса на уровне зеркала матрицы в плоскости, параллельной фронту, при динамически приложенной нагрузке;

_z – осевые погрешности в вертикальном направлении;

_xz, _yz – угловые погрешности смещения оси пресса на уровне зеркала матрицы при динамически приложенной нагрузке соответственно перпендикулярно и параллельно фронту пресса;