Материал: Учебнометодическое пособие знакомит студентов с основными понятиями о

Легко заметить, что при методе скользящей средней теряется часть сведений, так же как при методе удлинения периодов. При определении числа лет для усреднения фактических чисел не малую роль играет и субъективизм исследователя.Метод наименьших квадратов. Этот метод преследует ту же цель, что и описанные выше три метода: устранить влияние временно действующих факторов и выявить тенденцию развития, вызванную только действием длительно действующих причин. Тенденцию развития лучше всего можно выразить линией, наиболее близкой к фактическим данным, это достигается методом наименьших квадратов, называемым так потому, что сумма возведенных в квадрат разностей фактических чисел - Y и теоретически ожидаемых - Yt - наименее велика, т.е. (Y-Yt)²0. Этому условию в каждом конкретном случае отвечает только одна линия, поэтому метод наименьших квадратов можно считать наиболее объективным способом выявления тенденции развития и рекомендовать его для широкого применения. Для того, чтобы применить способ наименьших квадратов, следует проделать следующие этапы работы.Сначала, после соответствующей оценки характера развития и изменений изучаемых явлений, производят выбор подходящего вида и характера линий, наиболее соответствующей тенденции развития. Например, если тенденция развития прямолинейна, то точнее всего ее представить при помощи прямой линии, уравнение которой: Yt=a+bx. Если тенденция криволинейна, вначале восходящая, а затем нисходящая, то ее можно представить в виде параболы второй степени с уравнением: Yt=a+bx+cx². На следующем этапе для получения числовых значений параметров a, b, c, d и т.д. составляют систему уравнений. При решении системы уравнений получают конкретные числовые значения параметров. Если в уравнении линии, соответствующей по своему характеру тенденции развития, имеется два неизвестных параметра, применяется система двух уравнений. Например, для прямой Yt=a+bx применяется система двух уравнений, для параболы второй степени система трех уравнений и т.д.В зависимости от того, сколько параметров имеет линия, выражающая основную тенденцию развития, столько уравнений требуется решить.На третьем этапе работы после решения системы уравнений и получения конкретных числовых значений параметров, определяющих место соответствующей линии в системе координат, путем ряда последовательных подстановок в уравнения полученных величин X (условно принята нумерация периодов) получают теоретически ожидаемые величины Yt. Истолкование результатов при этом аналогично описанному при других способах выравнивания динамических рядов. Разность фактических наблюдаемых величин - Y и теоретически ожидаемых - Yt указывает количественно влияние временно действующих - случайных причин.

Давайте технику применения метода наименьших квадратов при использовании разных видов линий, выявляющих тенденцию развития, проиллюстрируем следующими примерами.Прямолинейное выравнивание - несокращенный метод. О многих явлениях, являющихся объектом изучения науки можно сказать, что изменения в них с течением времени протекают прямолинейно, т.е. их развитие можно представить в виде прямой, уравнение которой: Yt=a+bx.Например, рассмотренный нами пример по праву можно отнести к нисходящим прямолинейным. Это позволяет выразить тенденцию развития популяции в виде прямой. Система уравнений при помощи которых определяются параметры, следующая:Y=Na+bX XY=aX+bX²где Y - фактические числовые величины изучаемого явления за каждый из периодов.X - условная нумерация периодов. Эта нумерация обычно начинается с нуля и идет в естественном порядке чисел - 0,1,2,3,4, и т.д.N - численность изучаемых периодов.Используя приведенные ранее данные, получаем следующее.

Год	Y	X	XY	X2	Yt=a+bx
1985	100	0	0	0	110
1986	110	1	110	1	105.2
1987	105	2	210	4	100.4
1988	100	3	300	9	95.6
1989	95	4	380	16	90.8
1990	87	5	435	25	86
1991	80	6	480	36	81.2
1992	80	7	560	49	76.4
1993	75	8	600	64	71.6
1994	60	9	540	81	66.8
	892	45	3615	285	400

Для того, чтобы найти параметры a и b, необходимо составить систему двух уравнений. 892=10a+45b3615=45a+285bРешая эти уравнения получаем a=110, b=-4.8Yt=a+bx=110-4.8x Замещая x в этом уравнении соответствующими числовыми величинами, определяющими порядковый номер изучаемых периодов, получаем выровненные величины - Y, те, которые были бы получены, если бы на популяцию действовали только длительно действующие факторы.Параметр b обозначает снижение или увеличение теоретически ожидаемых величин в течение одного из периодов и называется коэффициентом регрессии. Наименование это дал Гальтон, изучавший корреляцию роста родителей и их потомства. Так как Гальтон выявил нисходящую тенденцию в изменении роста высоких родителей и их потомства (коэффициент b с отрицательным знаком), то назвал он его коэффициентом регрессии. Это наименование остается за коэффициентом b и тогда, когда он имеет положительное значение. Прямолинейное выравнивание - сокращенный способ - нечетное количество периодов. В нашем примере, иллюстрировавшим применение метода наименьших квадратов, были использованы абсолютные числа. Гораздо более познавательное значение имеют производные статистические показатели - относительные величины, средние величины и т.п. Например, если вы изучаете действие каких-то веществ на организм, то на абсолютные величины количества, допустим умерших животных, оказывает влияние количество животных, подвергнутых воздействию. Поэтому, в таких случаях удобнее пользоваться относительными величинами, выраженными в процентах.Давайте разберем применение сокращенного способа выравнивания динамических рядов. Этот способ применяется тогда, когда ряд имеет нечетное количество периодов. Особенность его в том, что за начальный год X=0 принимается не первый год, а центральный. Нумерация остальных годов идет в естественном порядке чисел 1, 2, 3 и т.д., но номера более ранних лет до центрального имеют отрицательный знак, а после него положительный. Вследствие этого упрощается система уравнений:Y=NaXY=bX²отсюда параметры a и b принимают значения (см. по формуле), что освобождает от необходимости решать систему уравнений.Имеются следующие данные о заболеваемости гриппом за 1986-1994г.

Год	Y	X	XY	X2	Yt
1986	4,7	-4	-18,8	16	8,22
1987	29,4	-3	-88,2	9	36,15
1988	61	-2	-122	4	64,08
1989	79,1	-1	-79,1	1	92,01
1990	152,1	0	0	0	119,94
1991	161,3	1	161,3	1	147,87
1992	166,5	2	333	4	175,81
1993	211,8	3	635,5	9	203,74
1994	213,6	4	854,4	16	231,68
	1079,5	0	1676,1	60	1079,5

a=119.94 b=27.93Прямолинейное выравнивание - сокращенный способ - четное число периодов. Приведенный способ наименьших квадратов при четном числе периодов встречает затруднение из-за отсутствия центрального периода, который можно было бы принять за начальный. В этом случае начальным моментом считают тот, который находится между двумя центральными, так как данные динамического ряда относятся к середине периода. Если мы имеем интервалы в годах, то для того, чтобы работать с целыми числами эти интервалы переводят в полугодовые.Не всегда можно представить тенденцию развития явлений при помощи прямой, так как тенденция развития в ряде случаев криволинейна и прямая линия не подходит для ее характеристики. В таких случаях пользуются различными кривыми: параболами, гиперболами, экспоненциальными и т.д.Парабола - одна из элементарных кривых. Параболой первой степени является прямая линия. Парабола второй степени имеет следующее уравнение: Yt=a+bx+cx²а параболы третьей степени: Yt=a+bx+cx²+dx³.Для решения этих уравнений надо найти значения a, b, c, d и т.д. Для этого надо решить соответствующую систему уравнений:Y=Na+bX+cX²XY=aX+bX²+cX³X²Y=aX²+bX³+cX⁴Техника решения подобных уравнений и построения графика принципиально ничем не отличается от разобранных ранее примеров. Аналогично можно применять сокращенные способы для четного количества периодов и нечетного количества периодов.В случаях, когда количество интервалов велико можно прибегать к сглаживанию по трем, пяти, семи, девяти и т.д. точкам.Например, сглаживание по 5 точкам выглядит так:Yt=X_n-2+2X_n-1+3X_n+2X_n+1+X_n+2по 9 точкам:Yt=X_n-4+2X_n-3+3X_n-2+4X_n-1+5X_n+4X_n+1+3X_n+2+2X_n+3+X_n+4Следует отметить, что данный метод можно применять не зная какие факторы оказывают длительное, а какие временное воздействие. Однако, можно заметить, что при таком способе сглаживания теряются начальные и конечные периоды. Анализ циклических измененийМногим явлениям свойственна цикличность. Она выражается в периодических изменениях интенсивности этих явлений, причем изменения эти обладают более или менее стабильным характером. Так, например, общеизвестны различия таких физиологических показателей, как пульс и артериальное давление крови, в различное время суток. Такого же рода суточная цикличность наблюдается и при некоторых антропометрических показателях: рост, вес.

Продолжительность цикла, в течение которого происходят соответствующие изменения, может иметь иногда длительность секунд (например пульсация сердца), а иногда и многих лет (солнечная радиация - 11 лет).Лучше всего изучены вопросы цикличности, встречающейся наиболее часто. Это так называемая сезонная цикличность. Для примера можно сказать, что заболеваемость многими болезнями обладает характерными сезонными колебаниями.Для того чтобы выяснить, каким образом можно количественно охарактеризовать сезонность, необходимо предва-рительно вкратце остановиться на причинах, определяющих те или иные величины изучаемых явлений. Изменения в этих явлениях могут быть охарактеризованы путем перемен, наступающих с течением времени. Эти изменения являются сложным результатом одновременного действия многих разнообразных причин, которые можно свести в три основные группы.Первая - это причины с длительным сроком действия. Они действуют непрерывно в течение всего рассматриваемого периода и могли бы быть названы постоянно действующими причинами.Вторая группа причин - временно действующие факторы. Временно действующие причины можно отнести к случайным. Они действуют в двух направлениях. Иногда они приводят к увеличению величины изучаемого явления, а иногда приводят к понижению. Так, например, к категории случайных причин, влияющих на величину популяции, можно отнести благоприятный или неблагоприятный климат данного календарного года или же неблагоприятное влияние в данном году какой-либо эпидемии. Временно действующие причины не определяют основную динамику показателей, но в известной степени сказываются на ее размерах.Третья группа причин, вызывающих изменения исследуемых явлений, это сезонно действующие факторы. Они называются так потому, что действуют в зависимости от цикличной смены времен года. Однако не следует считать, что перечисление упомянутых трех видов факторов дает полную классификацию причин, оказывающих влияние на изучаемые явления. В зависимости от специфики и характера этих явлений, от стоящей перед научным исследованием задачи к продолжительным, временным и сезонным причинам можно добавить и ряд других, например причины действующие, с разной силой в течение суток.

Все причины действующие на изучаемое явление

=

Длительно действующие причины

+

Временно действующие причины

+

Сезонно действующие причины