Материал: Туровский Я. Техническая электродинамика

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

4. Метод Ротй

Метод Рота более прост в использовании, чем метод Роговского, но также требует допущения о бесконечной проницаемости стали. Здесь не делают раздела на зоны вихревых и безвихревых полей, но вво дится одно выражение векторного потенциала для всего поля, при чем этот потенциал является решением как для уравнения Лапласа, так и уравнения Пуассона.

	-,	1	1 —	п		I	I
I	I	I		J		I	I
I	I	I		J		1	I
			i
1	J	.	I	J	1
		••У
					I
I					11		I
I	1!					II	1
	- 11I					II	.J
II	- 11I	II		1I		iг — I i
I —
I	_ J		U	, _ J	i		i

1_.

Рис. 5-23. Схема расчета поля методом Рота в воздушном канале, ограниченном стальными поверхностями [Л. 1-1].

На рис. 5-23 показано р прямоугольных проводников, располо- У женных в замкнутом прямоугольном пространстве, ограниченном стальными стенками с бесконечно большой проницаемостью. Сталь ные поверхности согласно правилу зеркальных изображений могут быть замещены бесконечным полем одноименных изображений, пока занных на рис. 5-23 пунктирными линиями. Разыскиваемая функция векторного потенциала А, определяющая поле внутри воздушного «окна», должна быть, следовательно, периодической вдоль обеих осей х и у. Общее выражение этой функции является произведением двух

293

однократных рядов Фурье: одного вдоль оси х, а второго					вдоль оси
у (рис. 5-23):
А =		С] cos тх cos пу-{-	2J С 2 cos тх sin пу		-\-
	m п	т п
+	2J ]С С3	sin /их cos /?(/ + 2 S С*s 'n и х sin ш/,			(5-19)
	m >г	m п
где С, m,	/г — постоянные, зависящие от характера			поля	и от гра
ничных условий.			имеется только	одна составляю
Так как в системе (рис. 5-23)
щая плотности тока ] г , магнитный			векторный потенциал		согласно
(2-67)

имеет только одну составляющую AZ=A.	Вводя условия	Ax=Ay=Q
в (2-63)
В = rot А,
получаем:
Вх = дА/ду; Ву=—дА/дх;	В г =0 .

Ввиду бесконечней проницаемости стали на ее поверхности со стороны воздуха отсутствуют тангенциальные составляющие индук ции, откуда имеем условия

			—Ву,х=0=			(дА/дх)х^0=0;			(5-20)
			ВХуУ^о=(дА/ду)у^0=0;						(5-21)
			-Ву,х		= а=(дА/дх)х		= а = 0;		(5-22)
			Bx,v		= b=(dAldy)y		= b=0.		(5-23)
Подставляя		(5		в	(5-20)	и (5-21), получаем С2		= С3 = С4		=0,
так как	сумма	функций cos пу и sin пу может равняться							нулю	для
каждого		у только тогда, когда каждый член равняется
каждого	значения -19)
нулю. Следовательно, имеем:
			А = 2J X Стп cos тх cos пу.						(5-24)
					т п
Подставляя		затем			(5-24)	в	(5-22) и (5-23),		получаем
sin macos пу = 0 для			всех		значений у, откуда
				mh = { h - \ ) ~ ,					(5-25)

и cos mx sin nb=0 для всех значений х, откуда

(5-26).

где h=l, 2, 3,.... оо и k=.l, 2, 3,..., с о .

294

Подставляя тн и tik в (5-24), получаем общее выражение маг нитного вектора потенциала

	Л =5]	J]c f c „ c o s ( A - l ) - ^ - c o s ( f e - l ) - ^,	(5-27)
	/1	fe=i
которое	удовлетворяет всем граничным условиям. Постоянные
которое	=1

в (5-27) следует теперь подобрать так, чтобы оно удовлетворяло

уравнению Пуассона		внутри проводников п уравнению				Лапласа
в окружающем воздушном пространстве.
Подставляя (5-24) в (2-64а)
	дЫ Jdx* + дЫ			zldtf=—ц0/г,
получаем:
S	2J (т\ + л\|) Chh cos т л х cos /ад =				(х0/,	(5-28)
ft	к
где плотность	тока /	равна	постоянной плотности		тока I j	в сечении
/'-го проводника и равняется			нулю в воздухе; постоянные Chh можно

определить подобно тому, как это делают в случае нахождения по

стоянных однократного ряда	Фурье, умножая	обе части (5-28) на
cos ти х cos tik У и интегрируя	их дважды от	0 до а относительно

переменной х и от 0 до Ь относительно у, т. е. в пределах всей ис следуемой поверхности, соответствующей одному периоду двойного

бесконечного ряда.	В левой части уравнения все члены, кроме
cos2 tYih х cos2 tih у,	дают при интегрировании	нуль, в результате чего
получим для левой стороны /г-й, k-ii член ряда		в виде

пь

(т\ + п\) Chh ^ cos2 mh xdx j" cos2 nhydy. (5-29)

Так как плотность тока / не равна нулю только внутри р про водников, правую часть (5-28) интегрируем только в пределах сече

ний этих проводников и получаем:
а	Ь				р	a'jb'j
J	j	(А0 / cos тих cos nhydxdy =			ц.0 ^ ' ^	j	J cos m^x cos nhydxdy =
0	0	p			/=1	at	b}
		,	( s i n	mha'i—	sin mhaj	sin nhb'j — sin nhbj \
		Sh	I	mh			7Th	) • <5'30>

Приравнивая обе части (5-29) и (5-30), находим постоянную Chh- Она приобретает различный вид в зависимости от значения величин mh и пи- Различают здесь четыре характерных случая:

1) при mf t =0; nh>0 (й=1, k>\) левая часть (5-29) дает при интегрировании с учетом (5-26) значение пгиС\к ab/2; к правой части

295

(5-30) следует применять правило дифференцирования Лопиталя

sin mha'j	— sin/nfta^
l i m	= a'} — aj = ej (см. рис. 5-23),

Рис. 5-24. Поле рассеяния в четверти окна трансформа тора при симметричных обмотках (а) и при 25%-ной осевой асимметрии (б) [Л. 5-2].

296

й в результате получаем!

		р
	2h,	Г 1 ,	sin nhb'j	— sin nhbj .
C r t =	'A'	1 ^	^	'	(	°
	" S "	1 ^	^	'		°

2) при /ил>0, «ft=0 (/г>1, £=1) аналогичным путем получаем:

	C h i e	^	L "	— ^			•	(	>
3) в общем случае / % > 0 ,				л к > 0		( Л > 1 , & > 1 )		интегрирова-
						2	2
ние левой	части	(5-29) дает результат				( т д	- f nf t ) ;СлЛ^-^->		который
после приравнивания			к (5-30) дает:			р
				4ц,		р
				4ц,
			Ch*-(ml+nl)abJjJi			/=1
						/=1
	sin mha'j — sin /Ида^				sin nhb'j — sin nhbj
4) в	случае	РотЛ=лЛ=0		(Л =	A =		1) из (5-29)	и (5-30) полу-
чаем: С ь 1	=		JjCjdj = const.		Так как нас интересуют				только-

/=1

производные вектора А относительно х либо у, случаем этим можно пренебречь как неинтересным.

Таким образом, (5-27) вместе с (5-31) и (5-33) определяет магнитный векторный потенциал в любом месте (х, у) пространства, ограниченного сталью, в котором находятся проводники с током.

Уравнение (2-63) позволяет затем	найти составляющие	индукции
в любой точке {х, у)
Bx=dAjdy и	Ву=—дА/дх.	(5-34)

На рис. 5-24 показаны линии индукции, т. е. эквипотенциальные линии ^=const, определенные вышеприведенным методом Рота для симметричных обмоток трансформатора (рис. 5-24,а) и обмоток с 25%-ной осевой асимметрией (рис. 5-24,6).

5-6. ПОЛЕ ЛОБОВЫХ СОЕДИНЕНИЙ ОБМОТОК ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН

При прохождении поля лобовых соединений электрических машин

в установившихся и неустановившихся режимах в случае магнитных

инемагнитных концевых нажимных колец статора наиболее простыми являются метод зеркальных изображений, описанный в § 5-2 и 5-5,

297

и метод динамических отражений осциллирующих диполей как эле ментов контура (§ 5-3). Вопрос зеркальных изображений перемен ного тока в массивном металле пока еще не имеет полного решения, хотя и интересует многих исследователей (Л. 1-28, 5-7—5-9].

И з о б р а ж е н и е

в м а с с и в н о й

с т а л ь н о й

п л и т е .

В ![Л. 2-18] в 1956 г. было предложено рассматривать проводники с переменным током в виде ряда осциллирующих диполей, отобра жающихся в близлежащих металлических поверхностях. В 1960 г.

		Рис. 5-25. Зеркальное изображение лобовых
		соединений катушки в идеальном электромаг
		нитном	экране	[Л. 5-8].
Хаммонд '[Л. 5-8] использовал					этот	метод для нахождения			зеркаль
ных изображений			лобовых соединений. На рис. 5-25 и 5-26 показаны
найденные		таким	образом	контуры		замещения	лобовых соединений
в случае, когда торцевая поверхность магнитопровода								экранируется
идеальным		проводником (рис. 5-25)				и когда магнитопровод			с отно
сительной		проницаемостью		р г	не экранирован		(рис. 5-26).		Левая
сторона	рисунков		показывает		действительную систему,			правая — си
стему	замещения, образующую					идентичные	поля	в	воздухе
(рис. 5-26,а) н в			стали (рис. 5-26,6). Согласно				правилам, приведен-

Рис. 5-26. Определение магнитного поля лобо вых соединений методом зеркальных изобра жений в стальном магнитопроводе с прони цаемостью р. [Л. 5-8].

а — поле в воздухе; б — поле в стали.

298

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/126843

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!_Лабораторные_работы_1_сем_ОУТС
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Electronics Workbench' – алгоритм инструмента моделирования электронных схем
'Новая экономика': российская специфика