Материал: Теория_вероятностей_12_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример. Случайная величина X распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение X соответственно равны 20 и 10. Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше трех.

11

Теория вероятностей и математическая статистика

Решение. Воспользуемся формулой

Р(| Х — а | < ) = 2Ф( / ).

По условию, = 3, а = 20, = 10. Следовательно,

Р(|Х — 20| < 3) = 2Ф(3/10) = 2Ф(0,3).

По таблице приложения 2 находим Ф(0,3) = 0,1179. Искомая вероятность

Р(|Х – 20| < 3) = 0,2358.

12

Теория вероятностей и математическая статистика

11.6. Правило трех сигм

Преобразуем формулу Р(|Х - а| < ) = 2Ф( / ), положив= t. В итоге получим

Р(|Х—а|< t ) = 2Ф(t).

Если t = 3 и, следовательно,

t = З , то Р(|X — а|< З ) = 2Ф(3) = 2 0,49865 = 0,9973,

т. е. вероятность того, что отклонение по

абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

13

Теория вероятностей и математическая статистика

Другими словами, вероятность того, что абсолютная

величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027.

Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий, можно считать

практически невозможными.

14

Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

15