Материал: Теория вероятностей, лекции

случайного вектора. Поскольку в -алгебру событий данного вероятностного пространства входят события, состоящие в попадании каждой случайной величины в некоторое борелевское множество на прямой, то в нее входит и пересечение таких событий. Это пересечение является событием, заключающимся в попадании случайного вектора в прямое произведение соответствующих множеств. Множество таких прямых произведений порождает -алгебру борелевских множеств в пространстве Rn. Итак, если задан случайный вектор, то любому борелевскому множеству в Rn можно приписать вероятность попадания в него этого случайного вектора, т. е. построить вероятностное пространство, где -алгебра событий есть -алгебра борелевских множеств в Rn. Другими словами, каждому случайному вектору соответствует вероятностное распределение в Rn.

Заметим, что только по распределениям отдельных компонент нельзя восстановить распределение случайного вектора, так как остаются не описанными связи между его компонентами. С другой стороны, по распределению случайного вектора можно восстановить распределение каждой его компоненты. (Событие одна компонента попадает в заданный интервал, а остальные принимают"произвольные значения\ принадлежит -алгебре событий исходного вероятностного пространства.)

Говорят, что случайный вектор имеет дискретное распределение, если множество его значений является дискретным (конечным или счетным). Очевидно, что все компоненты случайного вектора с дискретным распределением также имеют дискретное распределение. Естественно, верно и обратное: если множества всех значений компонент вектора дискретны, то и множество значений самого вектора дискретно.

Для того чтобы полностью описать дискретное распределение случайного вектора, нужно указать все значения, которые он может принимать, и вероятности, с которыми эти значения принимаются, т. е. построить многомерный аналог ряда распределения. Естественно, сумма всех заданных вероятностей должна быть равна 1. По дискретному распределению случайного вектора может быть восстановлен ряд распределения каждой его компоненты. Выпишем конкретные формулы для случая двухмерного случайного вектора (X1; X2). Распределение такого вектора удобно задавать в виде таблицы:

Каждая из строк этой таблицы соответствует одному значению первой

55

компоненты xi, а каждый из столбцов – одному значению второй компоненты yj. Соответственно, в самой таблице записываются вероятности

sij = P (X1 = xi; X2 = yj):

При суммировании столбцов этой таблицы получаются вероятности

X

pi = P (X1 = xi) = sij;

j

которые вместе с значениями xi определяют ряд распределения случайной величины X1. При суммировании строк этой таблицы получаются вероятности

X

qj = P (X2 = yj) = sij;

i

которые вместе с значениями yj определяют ряд распределения случайной величины X2.

Пример. Кубик (игральная кость) подбрасывается 2 раза. При каждом бросании фиксируется число очков, выпавших на верхней грани. По этому эксперименту естественным образом строится вероятностное пространство с 36 равновероятными элементарными исходами, каждому из которых соответствует упорядоченная пара выпавших чисел (от 1 до 6). Рассмотрим на этом вероятностном пространстве случайный вектор, состоящий из случайных величин X1 – количества выпаданий "1\ и X2 – количества выпаданий "2\. Найдем распределение этого случайного вектора. Возьмем, например, событие fX1 = 1; X2 = 0g, что означает "1 выпало ровно 1 раз, а 2 не выпало ни разу\. Это событие содержит все элементарные исходы вида (1; k) и (k; 1), где k принимает все значения, кроме 2 и 1. Таких исходов 8, следовательно, вероятность данного события равна 8=36. Аналогичным образом вычисляются вероятности для остальных возможных пар значений X1 и X2 и в результате заполняется таблица, задающая распределение случайного вектора (X1; X2).

56

Сложив вероятности в каждом столбце этой таблицы, получим ряд распределения случайной величины X1:

Соответственно, сложив вероятности в строках, получим такой же ряд распределения для X2.

5.2.Случайный вектор с абсолютно непрерывным распределением

Говорят, что случайный вектор имеет абсолютно непрерывное распределение, если существует функция n переменных f(x1; :::; xn), такая, что для любого борелевского множества A из Rn

Z

2

P (X A) = f(x1; :::; xn)dx1:::dxn:

A

Функция f(x1; :::; xn) называется плотностью распределения случайного вектора. Она обладает следующими свойствами: f(x1; :::; xn) 0 для лю-

Z

бого вектора (x1; :::; xn) 2 Rn; f(x1; :::; xn)dx1:::dxn = 1. Эти свойства

Rn

легко получаются из аксиом вероятности.

Таким образом, случайному вектору с абсолютно непрерывным распределением соответствует абсолютно непрерывное вероятностное пространство.

Если случайный вектор имеет абсолютно непрерывное распределение, то все его компоненты также имеют абсолютно непрерывные распределения, причем соответствующие плотности могут быть записаны как функции одной переменной, получающиеся интегрированием по остальным переменным по пространству R(n 1) плотности распределения случайного вектора. (При этом номер оставшейся переменной равен номеру соответствующей компоненты случайного вектора.) Докажем этот факт для случая n = 2.

Пусть f(x1; x2) – плотность распределения случайного вектора (X1; X2) и пусть [a; b[ – произвольный интервал. Тогда

P (X1 2 [a; b[) = P (X1; X2) 2 [a; b[ R1 =

57

Если ввести функцию

следовательно, f1(x1) является плотностью распределения случайной величины X1.

Обратное неверно: распределение случайного вектора, состоящего из компонент, имеющих абсолютно непрерывное распределение, не только не восстанавливается по распределениям компонент, но даже может не быть абсолютно непрерывным. Примером этого может служить случайный вектор, состоящий из двух тождественно равных случайных величин, распределение которого сосредоточено на прямой x1 = x2 и поэтому не может иметь плотности, заданной на R2.

5.3. Функция распределения случайного вектора

Функцией распределения случайного вектора (X1; :::; Xn) называется функция n переменных, определяемая формулой

F (x1; :::; xn) = P (X1 < x1; X2 < x2; :::; Xn < xn) :

При n = 1 эта функция является функцией распределения случайной величины, а в общем случае обладает сходными с ней свойствами. В частности, она принимает значения только из отрезка [0; 1], является неубывающей функцией по любой из переменных, стремится к 0, если все переменные стремятся к 1, и стремится к 1, если все переменные стремятся к

+1.

По функции распределения случайного вектора легко восстанавливаются функции распределения всех его компонент. Для этого следует считать, что остальные компоненты могут принимать произвольные значения, т. е. в формуле определения функции распределения устремить все переменные, кроме той, которая соответствует выбранной компоненте, к +1.

По функции распределения случайного вектора вычисляются вероятности его попадания в любой "прямоугольный параллелепипед\ (прямое произведение отрезков). Посмотрим, как это делается в случае n = 2. Из рисунка видно, что

P ((X1; X2) 2 [a; b[ [c; d[) =

58

=P (X1 < b; X2 < d) P (X1 < a; X2 < d) P (X1 < b; X2 < c)+P (X1 < a; X2 < c) =

=F (b; d) F (a; d) F (b; c) + F (a; c):

Пример (равномерное распределение на прямоугольнике). Пусть плотность распределения случайного вектора (X1; X2) имеет вид

Нетрудно проверить, что f(x1; x2) удовлетворяет всем свойствам плотности двухмерного случайного вектора.

Ей соответствует функция распределения

>

>

>

>

>

:

Нетрудно проверить, что эта функция удовлетворяет всем свойствам функции распределения случайного вектора и

@2F (x1; x2)

@x1@x2

= f(x1; x2):

59