Материал: Теория вероятностей, лекции
Утверждение этой теоремы по существу означает, что при любом целом неотрицательном k справедливо соотношение
|
k |
|
lim P (Xn = k) = |
|
e ; |
|
||
n!1 |
k! |
|
т. е. при больших значениях n в случае, когда величина произведения np ограничивается сверху несколькими единицами, можно пользоваться соответствующим приближенным равенством, взяв в качестве параметра величину np.
Доказательство теоремы Пуассона. Согласно формуле, полученной в 4.6,
|
|
P (X |
n |
= k) = |
n(n 1):::(n k + 1) |
pk(1 |
|
p)n k |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= |
(pn)k |
1 |
n 1 |
::: |
n k + 1 |
(1 |
|
|
p)n k: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Подставив np = , получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
P (X |
|
= k) = |
k |
1 |
|
|
|
1 |
|
::: |
|
1 |
|
k 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
k |
: |
|||||||||||
|
k! |
n |
|
|
|
n |
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Перейдя в последнем равенстве к пределу при n ! 1, находим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
lim P (X |
|
|
k |
|
|
|
k |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
k |
e : |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
= |
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
n!1 |
|
|
n |
|
|
|
) = k! n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Теорема доказана. 
В заключение заметим, что использовать теорему Пуассона можно
также в случае, когда значение p близко к 1. При этом соответствующее приближенное равенство можно записывать для случайной величины n Xn, представляющей собой число наступлений события !2. Соответственно, вероятность p заменится на 1 p.
Пример. Пусть вероятность безошибочной передачи некоторого сообщения равна 0.99. Найти вероятность того, что при передаче 100 однотипных сообщений не менее 99 из них будут безошибочными. Здесь Xn – число безошибочных сообщений, p = 0:99, n(1 p) = 1, следовательно, можно применить теорему Пуассона при = 1 к случайной величине n Xn. При этом получим:
P fXn 99g = P fn Xn = 0g + P fn Xn = 1g
e + 1 e = 2e 1 0:74:
75
Список литературы
1.Даугавет А. И., Постников Е. В., Червинская Н. М. Теория вероятностей: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ "ЛЭТИ\, 2001.
2.Даугавет А. И., Постников Е. В., Солынин А. А. Математическая статистика: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ "ЛЭТИ\, 2012.
3.Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики: Учеб. пособие для вузов. Спб.: Лань, 2008.
4.Кельберт М. Я., Сухов Ю. М. Вероятность и статистика в примерах
изадачах. В 3 т.Т. 1: Основные понятия теории вероятностей и математической статистики. М.: Изд-во МЦНМО, 2007.
76
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. Элементарная теория вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Случайный эксперимент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Математическая модель случайного эксперимента . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Операции над событиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1.4.Теорема сложения. Вероятность противоположного события . . 10
1.5.Условная вероятность события. Условное распределение
вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6. Формула полной вероятности. Формула Байеса . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7. Независимые события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8. Независимые испытания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 1.9. Геометрические вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
2. Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 2.1. Основная формула комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 2.2. Перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3. Размещения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 2.4. Сочетания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5. Размещения с повторениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3. Аксиоматика теории вероятностей Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1. Вероятностное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2. Классификация вероятностных пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4. Случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.1. Случайная величина и ее распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2. Случайная величина с дискретным распределением . . . . . . . . . . . 35
4.3. Случайная величина с абсолютно непрерывным распределением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4. Интеграл Стильтьеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.5. Числовые характеристики случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . .38
4.6.Примеры распределений дискретных случайных величин . . . . . 44
4.7.Примеры распределений абсолютно непрерывных случайных
величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 4.8. Характеристическая функция случайной величины . . . . . . . . . . . 51 4.9. Моделирование случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5. Случайный вектор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.1. Случайный вектор с дискретным распределением . . . . . . . . . . . . . 54 5.2. Случайный вектор с абсолютно непрерывным распределением 57 5.3. Функция распределения случайного вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 5.4. Числовые характеристики случайного вектора . . . . . . . . . . . . . . . . .60 5.5. Независимость случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
5.6. Многомерное нормальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6. Предельные теоремы теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.1. Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.2. Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.3. Предельные теоремы для биномиального распределения . . . . . . 73 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
Даугавет Александр Игоревич Постников Евгений Валентинович Червинская Нина Михайловна
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебное пособие
|
Редактор Э. К. Долгатов |
Подписано в печать |
Формат 60 84 1/16. Бумага офсетная. |
Печать офсетная. Гарнитура "Times\. Печ. л. 5. Тираж 173 экз. Заказ
Издательство СПбГЭТУ "ЛЭТИ\ 197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5