Материал: Теория вероятностей, лекции

XX в. теория вероятностей превратилась в самостоятельный раздел математики. Следует отметить, что методами теории вероятностей нельзя предсказать исход очередного случайного эксперимента, однако можно выявить основные закономерности, присущие данному эксперименту.

1.2.Математическая модель случайного эксперимента

Случайный эксперимент обычно описывается на языке высказываний. Основным же объектом исследований в теории вероятностей является математическая модель случайного эксперимента, которая описывается на языке теории множеств. Построение математической модели случайного эксперимента является неформализуемой процедурой, выходящей за рамки теории вероятностей и целиком относящейся к компетенции исследователя. Рассмотрим основные компоненты математической модели эксперимента в рамках элементарной теории вероятностей.

Определение 1.1. Все взаимоисключающие исходы эксперимента !2 называются элементарными событиями.

Будем считать, что множество элементарных событий конечно или счетно, т. е.

= f!1; !2; : : : ; !ng

или

= f!1; !2; : : : ; !n; : : :g:

Определение 1.2. Конечное или счетное множество элементарных событий называется дискретным пространством элементарных событий.

Построение математической модели эксперимента обычно начинают с построения дискретного пространства элементарных событий .

Пример. Эксперимент состоит в подбрасывании игральной кости и регистрации числа очков, выпавших на верхней грани. Естественно считать элементарным событием (исходом) выпавшее число от 1 до 6. Таким образом, элементарные события – это: !1 = 1, !2 = 2, !3 = 3, !4 = 4,

!5 = 5, !6 = 6.

Определение 1.3. Любое подмножество дискретного пространства элементарных событий называется событием.

Множество всех событий на – это множество всех его подмножеств. В частности, событиями являются следующие множества: пустое множество ;, которое называют невозможным событием, так как оно не имеет

5

благоприятных исходов; множество всех исходов – его называют достоверным событием; множество, состоящее из одного элементарного события f!ig.

Пример. Эксперимент состоит в подбрасывании игральной кости. Рассмотрим событие A: "выпало число не меньше, чем 5\. Это множество содержит 2 элементарных события: A = f5; 6g. Исходы !5 = 5 и !6 = 6 являются благоприятными для A. Невозможное событие – "выпало число 8\. Достоверное событие – выпало число от 1 до 6\.

Событие A наступило,"если наступило любое из элементарных событий, составляющих событие A, или, другими словами, благоприятных событию A.

Итак, дискретное пространство элементарных событий есть первый компонент математической модели случайного эксперимента.

Перейдем теперь к определению другого компонента модели – вероятностного распределения.

Определение 1.4. Пусть каждому элементарному событию !i 2 2 поставлено в соответствие число P (!i), причем

тогда число P (!i) называется вероятностью элементарного события

!i.

Условие (1.1) выражает тот факт, что вероятность любого элементарного события есть число между нулем и единицей, а условие (1.2) требует, чтобы сумма вероятностей всех элементарных событий равнялась единице. При этом, если пространство элементарных событий конечно и количество элементарных событий равно n, то это обычная сумма n слагаемых. Если же счетно, то в условии (1.2) рассматривается сумма числового положительного ряда.

Определение 1.5. Вероятностью P (A) любого события A на называется сумма вероятностей всех элементарных событий, благоприятных A:

Из определения 1.5 , в частности, следует, что P (;) = 0, P ( ) = 1.

Определение 1.6. Вероятностным распределением на называется функция P , которая каждому событию A ставит в соответствие его вероятность P (A).

6

Каждое вероятностное распределение на удовлетворяет условиям (1.1)–(1.3). Их обычно называют аксиомами вероятностного распределения. С другой стороны, любая функция, заданная на множестве всех подмножеств , удовлетворяющая аксиомам (1.1)–(1.3), определяет на вероятностное распределение.

Возникает вопрос: откуда брать вероятностное распределение? Решение этой задачи целиком лежит на совести экспериментатора, который строит математическую модель случайного эксперимента. Вспомним, что случайные эксперименты, модели которых изучают в теории вероятностей, обязаны обладать свойством статистической устойчивости частот. Это означает, что частота элементарного события (исхода) !i по мере увеличения количества проводимых экспериментов должна стабилизироваться около некоторого неизвестного числового значения. В качестве абстрактного аналога этого числового значения в математической модели как раз и вводится вероятность элементарного события P (!i). В конкретной серии экспериментов используют частоту = k=n, в математической модели эксперимента вместо частоты , которая может изменяться от серии к серии, введена постоянная вероятность P (!i), отражающая предположение о неизменности условий проведения эксперимента. В свою очередь, вероятность исхода P (!i) тогда должна интерпретироваться как ожидаемая частота наступления элементарного события !i в достаточно длинной серии экспериментов. Таким образом, так как модель должна быть адекватна породившему ее эксперименту, вероятность каждого исхода следует назначать так, чтобы она соответствовала частоте этого исхода.

Пример. Эксперимент состоит в подбрасывании монеты. Тогда = = f ; Цg = f!1; !2g. Зададим на вероятностное распределение. Ясно, что это можно сделать многими способами, например:

1)P (!1) = P (!2) = 1=2;

2)P (!1) = 1=3, P (!2) = 2=3;

3)P (!1) = p, P (!2) = 1 p, 0 p 1:

Во всех трех случаях аксиомы вероятностного распределения выполнены. Следовательно, эти 3 варианта задания вероятностного распределения на можно расценить как 3 различные модели одного и того же эксперимента. Какую из этих моделей считать адекватной эксперименту?

Если монета "правильная\, то, как подсказывает жизненный опыт, обе ее стороны выпадают одинаково часто. Следовательно, частота выпадения герба или цифры будет группироваться около числа 1=2. Английский статистик К. Пирсон, например, подбрасывал "правильную\ монету 24 000 раз, и герб выпал 12 012 раз. Логические умозаключения позволяют сделать вывод о равновозможности выпадения как герба, так и цифры, Значит, естественно считать вероятность выпадения герба "правильной\ моне-

7

ты равной 1=2. Поэтому первая модель – это модель для "правильной\ монеты, и она будет более точно, чем другие модели, описывать эксперимент

справильной\ монетой. Тогда модель N 2 будет описывать эксперимент

с""неправильной\ монетой, у которой цифра выпадает в 2 раза чаще, чем герб.

Спомощью модели N 3 можно описать эксперимент с любой монетой. Для этого достаточно в качестве числа p выбрать частоту выпадения герба, проведя серию подбрасываний выбранной монеты. Если условия эксперимента таковы, что все исходы можно считать равновозможными, то всем элементарным событиям приписывают одинаковую вероятность. Такое вероятностное распределение называют классическим, а соответствующую модель – схемой равновозможных исходов.

Задание вероятностного распределения завершает построение математической модели случайного эксперимента. Таким образом, модель включает в себя 2 элемента: дискретное пространство элементарных событий – множество и вероятностное распределение P , приписывающее каждому

элементарному событию !i 2 его вероятность P (!i). Теперь вероятность любого события A может быть вычислена в соответствии с аксиомой (1.3) суммированием вероятностей всех элементарных событий, благоприятных A.

В случае классического распределения вероятностей такой подсчет осуществляется особенно просто. Пусть = f!1; : : : ; !ng, где n = j j

– мощность (количество элементов) . В этом случае полагают

Тогда вероятность события A, согласно (1.3), вычисляется как

где jAj – число элементов множества A, т. е. число благоприятных для A исходов.

Пример. Куб с окрашенными гранями распилен на 27 кубиков одинакового размера (рис. 1.1). Полученные кубики тщательно перемешаны. Наудачу извлекается один кубик. Построить модель эксперимента и указать вероятность того, что извлеченный кубик имеет ровно две окрашенные грани.

Как отмечалось, модель случайного эксперимента состоит из дискретного пространства элементарных событий и заданного на вероятностного распределения P , приписывающего каждому элементарному событию

8

!i его вероятность P (!i). Эксперимент заключается в вытаскивании кубика и определении числа окрашенных граней. Как определить и что взять в качестве элементарного события?

Можно, к примеру, вы-

1 P (0о. г.) = P (1о. г.) = P (2о. г.) = P (3о. г.) = 4:

Однако разумна ли гипотеза о равновозможности исходов? Очевидно, что нет, так как неокрашенный кубик один, а остальных больше, значит, частота вытаскивания неокрашенного кубика будет меньше частоты других исходов. Поэтому построенная модель плохо описывает эксперимент.

Построим другое пространство, 2 = f1; 2; 3; :::; 27g, где исход – номер вытащенного кубика, который он получил при распиливании. Отметим, что исходы пространства 1 являются событиями пространства 2:

0о. г. = f14g;

1о. г. = f5; 11; 13; 15; 17; 23g;

2о. г. = f2; 4; 6; 8; 10; 12; 16; 18; 20; 22; 24; 26g; 3о. г. = f1; 3; 7; 9; 19; 21; 25; 27g:

Слова "тщательно перемешиваются\ и "наудачу\ в описании эксперимента позволяют сделать предположение о равновозможности исходов в пространстве 2, так как все 27 кубиков ничем друг от друга не отличаются. Значит, вероятности всех исходов можно принять одинаковыми и равными 1=27 в силу их равновозможности. Тогда P (0о. г.) = 1=27,

P (1о. г.) = 6=27, P (2о. г.) = 12=27, P (3о. г.) = 8=27.

Итак, вероятность события "2о. г.\ равна P (2о. г.) = 4=9.

1.3. Операции над событиями

Пусть – дискретное пространство элементарных событий, A, B, C – события. Дадим вероятностную интерпретацию некоторых фактов теории множеств:

9