Материал: Теория вероятностей, лекции
! 2 A (элемент ! принадлежит множеству A) – исход ! благоприятен для события A;
A B (множество A содержится во множестве B) – событие A влечет за собой событие B;
A = B (множества A и B равны) – события A и B состоят из одних
итех же элементарных событий.
Определение 1.7. Суммой событий A и B называется событие C, содержащее все исходы ! 2 , благоприятные либо событию A, либо событию B, обозначается C = A [ B.
Определение 1.8. Произведением событий A и B называется событие C, состоящее из исходов, благоприятных как для события A, так и для события B, обозначается C = A \ B.
Определение 1.9. Разностью событий A и B называется событие C, состоящее из исходов, благоприятных для события A, но неблагоприятных для события B, обозначается C = A n B.
Определение 1.10. События A и B называются несовместными, если они не имеют общих исходов, т. е. если A \ B = ;.
Определение 1.11. Событие C называется противоположным событию A, если C состоит из всех исходов, неблагоприятных для A (до-
n
полняет A до ), обозначается C = A = A.
Пример. Рассмотрим эксперимент – двукратное подбрасывание монеты. Тогда = f!1; !2; !3; !4g = fГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦg. Пусть событие A
– |
"герб выпал хотя бы один раз\, событие B – |
"монеты упали разными |
|
сторонами\. Значит, |
|
|
|
|
A = f!1; !2; !3g; B = f!2; !3g: |
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
A [ B = f!1; !2; !3g = A; A \ B = f!2; !3g = B; A = f!4g; |
||
|
|
|
|
|
B = f!1 |
; !4g; A \ B = ;; A |
[ A = : |
Введенные операции над событиями позволяют конструировать новые события пространства элементарных событий. Далее покажем как вычислять вероятности этих новых событий.
1.4.Теорема сложения. Вероятность противоположного события
Пусть – пространство элементарных событий, P – вероятностное распределение на . Рассмотрим как связаны вероятности P (A), P (B) событий A и B и вероятность P (A [ B) их суммы A [ B.
10
Теорема 1.1. Если события A и B несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей:
A \ B = ;; ) P (A [ B) = P (A) + P (B):
Доказательство. На основании аксиомы аддитивности (1.3) можно записать, что
X
P (A [ B) = P (!):
!2(A[B)
С учетом условия A \ B = ; последняя сумма разбивается на две:
X X X
=P (!) + P (!) = P (A) + P (B):
!2(A[B) !2A |
!2B |
Теорема доказана. 
Следующая теорема, называемая теоремой сложения, позволяет вы-
числить вероятность суммы событий для любых событий A и B.
Теорема 1.2. Теорема сложения. Для любых событий A и B
P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B): |
(1.4) |
Доказательство. Можно записать, что
A [ B = (A n B) [ (B n A) [ (A \ B): |
(1.5) |
Для графического представления подобных тождеств в теории множеств принято пользоваться так называемыми диаграммами Венна. При этом множество изображается плоской фигурой. Диаграмма Венна для тождества (1.5) представлена на рис. 1.2.
Итак, представим сумму событий A и B в виде суммы трех попарно несовместных событий. Согласно теореме (1.1 ),
....
|
. |
. |
B n A |
A n B |
. |
A |
A \ B . |
. |
B |
|
.....
рис. 1.2
P (A [ B) = P (A n B) + P (B n A) + P (A \ B); |
(1.6) |
С другой стороны (рис. 1.2), |
|
A = A n B + A \ B; B = B n A + A \ B: |
|
Значит, |
(1.7) |
P (A) = P (A n B) + P (A \ B); |
11
P (B) = P (B n A) + P (A \ B): |
(1.8) |
Тогда, подставляя в (1.6) P (A n B) из (1.7) и P (B n A) из (1.8), получим утверждение теоремы (1.4):
P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B): 
Пример. Из урны, содержащей 29 пронумерованных шаров, наудачу выбирается один шар. Какова вероятность того, что его номер делится на 2 или на 3?
Пусть = f1; 2; : : : ; 29g – множество исходов, состоящее из 29 номеров шаров, которые могут быть выбраны в результате эксперимента. Естественно предположить, что все исходы равновозможны, поэтому каждому исходу приписываем вероятность 1=29.
Введем события: A – номер делится на 2\, B – номер делится на 3\. Теперь необходимо найти"вероятность события C ="A [ B. Можно непосредственно выписать все элементарные события, входящие в C. Однако это путь громоздкий. Воспользуемся теоремой сложения.
Найдем число элементарных событий, благоприятных событиям A и B и событию A \ B – "номер делится на 6\:
nA = [29=2] = 14; nB = [29=3] = 9; nA\B = [29=6] = 4
(здесь знак [ ] обозначает целую часть числа). Тогда P (A) = 14=29, P (B) = = 9=29, P (A \ B) = 4=29. Наконец,
P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B) = 14=29 + 9=29 4=29 = 19=29:
Следующая теорема о вероятности противоположного события оказывается очень полезной при решении многих задач.
Теорема 1.3. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
Доказательство. Пусть A – произвольное событие. По определению
|
|
противоположного события A [ A = и A \ A = ;. Тогда по теореме |
|
сложения |
|
|
|
P ( ) = P (A [ A) = P (A) + P (A) = 1:
Пример. Из колоды в 36 карт вытаскиваются 3 карты. Какова вероятность события вытащена хотя бы одна дама или хотя бы один король\?
Пусть есть"множество всех сочетаний по 3 карты из 36. Количество элементов в есть n = C363 . Так как все исходы равновозможны, приписываем им одинаковые вероятности P (!i) = 1=n, i = 1; 2; : : : ; n. Введем события: A – "вытащена хотя бы одна дама\, B – "вытащен хотя бы один король\. Требуется найти вероятность P (A [ B).
12
|
|
|
|
|
|
||
Перейдем к противоположному для A [ B событию A [ B = A |
\ B – |
||
не вытащены ни одна дама и ни один король\. Количество благоприятных |
|||
" |
|
3 |
|
исходов для A\B очевидно равно m = C28. Значит, P (A\B) = m=n. Тогда, |
|||
согласно теореме 1.3 , |
|
|
|
|
|
|
m=n: |
|
P (A [ B) = 1 P (A |
\ B) = 1 |
|
1.5.Условная вероятность события. Условное распределение вероятностей
Рассмотрим важное в теории вероятностей понятие условной вероятности события, позволяющее описывать целую группу случайных экспериментов со сложной структурой. Обсуждение начнем со следующей задачи.
Пример. Студенческая группа состоит из n студентов. При этом в ней n1 спортсменов (n1 n), n2 отличников (n2 n) и из спортсменов-от- личников n3 n1; n3 n2. Наугад выбирается студент. Найти вероятности событий: A – "выбран спортсмен\; B – "выбран отличник\; A\B – "выбран спортсмен-отличник\.
Очевидно, все исходы, заключающиеся в выборе одного студента из n возможных, равновозможны. Значит, = f!1; : : : ; !ng и P (!i) = 1=n. Тогда P (A) = n1=n; P (B) = n2=n; P (A \ B) = n3=n.
Изменим эксперимент. Пусть событие A произошло, т. е. известно, что выбран спортсмен. Какие вероятности теперь приписать исходам? Факт наступления события A будем обозначать с помощью косой черты в записи события, например, f!i=Ag – элементарное событие !i при условии, что событие A наступило.
Ясно, что если событие A наступило, то любой исход в модифицированном эксперименте должен быть благоприятным для A. Поэтому ис-
ход из A произойти не может. Следовательно, P (!i=A) = 0 для каждого
|
|
|
|
|
!i 2 A. Кроме того, выбор любого спортсмена равновозможен, значит, для |
||||
каждого !i 2 A P (!i=A) = 1=n1. Теперь |
||||
|
X |
|
n3 |
|
P (B=A) = |
P (!i=A) = |
|
: |
|
|
|
|||
|
!i2A\B |
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
Итак, получили новое распределение вероятности на i:
i |
|
(0; |
|
!i = A; i = 1; :::; n; |
P (! |
=A) = |
1=n1 |
; |
!i 2 A; |
|
|
|
|
2 |
которое отличается от исходного. Такое распределение естественно назвать условным распределением, а составляющие его вероятности – условными
13
вероятностями. При этом условные вероятности можно выразить через безусловные:
n3 = n3=n = P (A \ B)
n1 n1=n P (A)
или
P (B=A) = P (A \ B): P (A)
Приведенные в примере соображения лежат в основе формального определения условной вероятности события.
Определение 1.12. Пусть – пространство элементарных событий с вероятностным распределением P . Пусть A и B – некоторые события на , причем P (A) > 0. Тогда число
P (B=A) = |
P (A \ B) |
(1.9) |
|
P (A) |
|||
|
|
называется условной вероятностью события B при условии, что событие A наступило (коротко говорят "вероятностью B при условии A\ ).
Формула (1.9) задает правило P ( =A) : B ! P (B=A), согласно которому каждому событию B ставится в соответствие его условная вероятность. Это правило называется условным распределением вероятностей на .
Заметим, что определение условной вероятности (1.9) является формальным и не использует какие-либо дополнительные рассуждения, но, как показывает рассмотренный пример, такое определение согласуется со здравым смыслом.
Перепишем определение (1.9) в виде
P (A \ B) = P (A)P (B=A): |
(1.10) |
Эту формулу традиционно называют теоремой умножения, хотя доказывать здесь ничего не нужно, лишь бы P (A) была больше нуля. Теорема умножения позволяет записать вероятность произведения событий через произведение безусловной и условной вероятностей этих событий.
Формула (1.10) допускает простые обобщения:
P (A \ B \ C) = P (A)P (B=A)P (C=A \ B); |
(1.11) |
если P (A \ B) > 0;
P (A1 \ A2 \ \ An) = P (A1)P (A2=A1) : : : P (An=A1 \ A2 \ \ An 1);
если P (A1 \ \ An 1) > 0. Докажем, например, (1.11):
P (A \ B \ C) = P (A \ B)P (C=A \ B) = P (A)P (B=A)P (C=A \ B):
14