Материал: Теория вероятностей, лекции

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

– Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет "ЛЭТИ\

А.И. ДАУГАВЕТ Е. В. ПОСТНИКОВ

Н.М. ЧЕРВИНСКАЯ

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Учебное пособие

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ "ЛЭТИ\

2012

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

– Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет "ЛЭТИ\

А.И. ДАУГАВЕТ Е. В. ПОСТНИКОВ

Н.М. ЧЕРВИНСКАЯ

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Учебное пособие

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ "ЛЭТИ\

2012

УДК 519.21(075) ББК В171 Д 21

Даугавет А. И., Постников Е. В., Червинская Н. М. Введение в теоД21 рию вероятностей: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ "ЛЭТИ\,

2012. 80 с.

ISBN 978-5-7629-

Содержит материалы по основным разделам теории вероятностей: элементарной теории вероятностей, теории распределения случайных величин и векторов, основные предельные теоремы, входящие в программу курса дисциплины "Теория вероятностей и математическая статистика\ технических университетов. Является первой частью курса и соответствует программе дисциплины "Теория вероятностей и математическая статистика\.

Предназначено для студентов бакалавров технических факультетов, обучающихся по всем направлениям и специальностям.

Издание позволяет студентам самостоятельно и более углубленно изучать разделы курса, кратко изложенные на лекциях. Достаточное количество, подробно решенных примеров должно помочь студентам в самостоятельной работе, при выполнении текущих домашних заданий.

УДК УДК 519.21(075) ББК В171

Рецензенты: кафедра высшей математики СПХФА; д-р физ.-мат. наук, проф. Я. И. Белопольская (СПбГАСУ).

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Введение

Данное издание предназначено для студентов второго курса всех направлений и специальностей факультетов электротехники и автоматизации, электроники, экономики и менеджмента и открытого факультета СПбГЭТУ. Пособие написано на основе курса, читаемого авторами, и является исправленным и дополненным изданием учебного пособия [ 1 ] тех же авторов. Основным дополнением является включение нового раэдела "Элементы комбинаторики\. В пособии излагается теория вероятностей, соответствующая первой части новой рабочей программы для бакалавров по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика\. Вторая часть данной дисциплины изложена в выходящем в этом году пособии [ 2 ].

Для более глубокого изучения некоторых разделов теории вероятностей можно рекомендовать учебное пособие для вузов [ 3 ].

Для самостоятельной работы студентов авторы рекомендуют книгу [ 4 ], в которой разбирается большое количество примеров и каждый параграф предваряется необходимыми теоретическими сведениями.

Отметим некоторые стандартные обозначения, принятые в пособии. Множество натуральных чисел обозначается символом IN; множество целых чисел ZZ; множество вещественных чисел R; множество комплексных чисел C. Знак отмечает конец доказательства; а знак конец примера.

1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.1. Случайный эксперимент

В окружающем нас мире происходят явления, результат которых не вполне однозначно определен. Такие явления принято называть случайными, в отличие от детерминированных, результат которых всегда один при неизменных условиях. Явление, условия протекания которого можно контролировать, будем называть экспериментом. Таким образом, эксперимент

– это выполнение некоторых действий при фиксированном наборе определенных условий. Результат эксперимента называется его исходом. У случайного эксперимента исходов несколько, у детерминированного – всегда один. Предполагается, что случайный эксперимент может быть многократно повторен, хотя бы мысленно.

Простейшим примером случайного эксперимента является подбрасывание монеты: монета может упасть либо гербом вверх, либо цифрой. Таким образом, у этого случайного эксперимента 2 исхода. Другим случайным экспериментом является измерение некоторого постоянного физиче-

3

ского параметра, например сопротивления резистора, одним и тем же прибором.

Результаты нескольких повторных измерений в общем случае будут несколько отличаться друг от друга. Эти различия обусловлены влиянием многих второстепенных факторов, таких, как переходное сопротивление контактов, случайные вибрации аппаратуры, погрешности отсчета показаний и др. Совместное влияние всех второстепенных факторов, которые невозможно контролировать, приводит к различным результатам измерений, т. е. к множеству исходов эксперимента.

Приведенные примеры показывают, что несмотря на то, что основные условия эксперимента остаются неизменными, его исходы могут быть различными. Эта неоднозначность результата всегда связана с наличием некоторых второстепенных факторов, влияющих на исход эксперимента, но не заданных в числе основных условий. Совершенно очевидно, что в природе нет ни одного физического явления, в котором не присутствовал бы в той или иной мере элемент случайности. Никогда нельзя в точности повторить абсолютно все условия опыта.

Вернемся к эксперименту с подбрасыванием монеты. Замечено, что если монета "правильная\ (не имеет изъянов), то при многократных подбрасываниях стороны выпадают примерно одинаковое число раз. Допустим, что проведена серия из n подбрасываний, причем герб выпал k раз. Назовем частотой выпадения герба число k=n. Тогда оказывается, что при большом числе подбрасываний n частота k=n близка к 0:5. При этом по мере удлинения серии подбрасываний колебания значения частоты относительно 0:5 становятся меньше.

Свойство группировки частоты около некоторого числа при многократном повторении случайного эксперимента носит название статистической устойчивости частот.

Все мыслимые эксперименты можно разделить на 3 группы. К первой группе относятся детерминированные эксперименты, обладающие полной устойчивостью исходов. Ко второй группе относятся случайные эксперименты, в которых наблюдается статистическая устойчивость частот. В третью группу входят случайные эксперименты, у которых статистической устойчивости нет. Сферой применения теории вероятностей являются случайные эксперименты второй группы. Таким образом, теория вероятностей как математическая дисциплина занимается изучением математических моделей случайных экспериментов, обладающих свойством статистической устойчивости частот.

Теория вероятностей зародилась в средние века, когда делались попытки разработать выигрышные стратегии для азартных игр. Ее развитие шло по пути накопления фактов и математических результатов, и лишь в

4