Материал: Теория вероятностей, лекции

вычисляется через специальную функцию Erf(x) – так называемую функцию ошибок:

Для вычисления (x) при отрицательных значениях аргумента используется симметричность стандартного нормального распределения, благодаря которой ( x) = 1 (x).

Рассмотрим теперь случайную величину, являющуюся линейной функцией от X: Y = X + a, где > 0, a – любое вещественное число, X имеет стандартное нормальное распределение. Согласно свойствам математиче-

Распределение с такой плотностью называется нормальным распределением с параметрами (a; 2). Как только что было показано, параметр a является математическим ожиданием соответствующей случайной величины, а 2 – ее дисперсией.

Экспоненциальное распределение. Экспоненциальным (или показательным) называется распределение, функция распределения которого задается формулой

(

0; если x 0;

1 e x; если x > 0;

где > 0 – некоторый параметр. Эта функция непрерывна, монотонно возрастает и ее предел на бесконечности равен 1, т. е. удовлетворяет всем свойствам функции распределения. Вычисленная по этой функции распределения вероятность попадания случайной величины на отрицательную полуось равна нулю, т. е. соответствующая случайная величина может принимать только положительные значения. Кроме того, данная функция распределения дифференцируема при всех x (кроме x = 0), следовательно, распределение является абсолютно непрерывным и его плотность

(

0; если x < 0;e x; если x > 0:

50

Как и в случае нормального распределения, плотность убывает достаточно быстро, для того чтобы у случайной величины существовали моменты любого порядка. Используя формулу интегрирования по частям, найдем математическое ожидание:

1 +1

ZZ

Эта функция непрерывна, монотонно возрастает на всей числовой оси от 0 до 1, т. е. удовлетворяет всем свойствам функции распределения. Кроме того, данная функция распределения дифференцируема при всех x, следовательно, распределение является абсолютно непрерывным и его плотность

Математического ожидания у этого распределения не существует, так как первообразная соответствующей подынтегральной функции

xf(x) = 1 x

1 + x2

не имеет конечного предела на бесконечности.

4.8.Характеристическая функция случайной величины

Ранее было показано, что распределение случайной величины полностью характеризуется либо функцией распределения, либо плотностью, либо рядом распределения. В некоторых задачах более удобным является еще

51

одно представление распределения – через некоторое интегральное преобразование от него, которое называется характеристической функцией.

Определение 4.8. Характеристической функцией случайной величины X называется функция '(t) = M eitX , где i – мнимая единица.

В частности, в случае абсолютно непрерывной случайной величины с

плотностью f(x)

1

Z

'(t) = eitxf(x)dx:

1

Для дискретной случайной величины с рядом распределения f(xk; pk)g

X

'(t) = eitxk pk:

k

Таким образом, характеристическая функция представляет собой комплекснозначную функцию вещественного аргумента. При помощи форму-

лы Эйлера

eiu = cos u + i sin u

из характеристической функции легко выделить вещественную и мнимую части. Например, в случае абсолютно непрерывной случайной величины

Поскольку синус и косинус – ограниченные функции, характеристическая функция существует у любой случайной величины (соответствующий интеграл или ряд всегда сходится). Кроме того, заметим, что в случае четной функции плотности второй интеграл в последней формуле обращается

в0, т. е. характеристическая функция симметричного распределения принимает только вещественные значения.

Подставив в формулу определения характеристической функции t = = 0, получим '(0) = Mf1g = 1.

Нетрудно показать, что 1 является максимальным значением не только для самой характеристической функции, но и для ее модуля. Например,

вдискретном случае

Если некоторая случайная величина является линейной функцией от X, т. е. Y = aX + b, то характеристическая функция величины Y

no

52

Установим связь производных характеристической функции с моментами случайной величины. Пусть у случайной величины X существует начальный момент порядка n. Тогда, рассмотрев формулы вычисления характеристической функции в дискретном и непрерывном случаях, можно убедиться в допустимости n-кратного дифференцирования под знаком математического ожидания, т. е. '(n)(t) = M (iX)neitX , следовательно,

'(n)(0) = inMfXng.

На самом деле по характеристической функции могут быть восстановлены не только моменты, но и все распределение в целом. Например, в случае абсолютно непрерывного распределения плотность можно восстановить по характеристической функции по формуле

1

f(x) = 1 Z '(t)e itxdt:

2

1

Рассмотрим некоторые примеры характеристических функций:

1. Пусть случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [ 1; 1]. Тогда, в силу симметричности распределения,

2. Пусть случайная величина X имеет стандартное нормальное распределение. Тогда

4.9. Моделирование случайных величин

Пусть X – случайная величина с функцией распределения F (x) и пусть h(x) – некоторая строго монотонно возрастающая функция. В этом случае у функции h(x) существует обратная, и нетрудно построить функцию распределения G(x) случайной величины Y = h(X). Действительно,

G(x) = P (h(X) < x) = P X < h 1(x) = F h 1(x) :

Это равенство можно использовать при решении задачи моделирования случайных величин с заданной функцией распределения. Существуют

53

датчики случайных чисел, моделирующие случайные величины, имеющие равномерное распределение на отрезке [0; 1]. Например, в качестве такой случайной величины может использоваться дробная часть числа, получающегося в результате работы некоторого вычислительного алгоритма с постоянно меняющимися входными данными. Если случайная величина X имеет равномерное распределение на [0; 1], то, по формуле (4.1), F (x) = x, если x 2 [0; 1].

Пусть требуется смоделировать абсолютно непрерывную случайную величину, функция распределения которой G(x) является строго возрас-

тающей и, следовательно, имеет обратную. Примем h(x) = G 1(x). Тогда

P (h(X) < x) = F h 1(x) = F (G(x)) = G(x), так как значение G(x)

находится в интервале [0; 1], где F (x) = x.

Таким образом, чтобы смоделировать случайную величину Y с заданной функцией распределения G(x), нужно смоделировать равномерно распределенную на [0; 1] случайную величину X и принять Y = G 1(X).

Пример. Пусть требуется смоделировать случайную величину, имеющую экспоненциальное распределение, т. е. G(x) = 1 e x при x 0.

Выразив в этом равенстве x через G(x), найдем обратную функцию:

где X имеет равномерное распределение на [0; 1].

В заключение отметим, что функцию, обратную к функции распределения, не всегда удается явно выписать, как это было сделано в данном примере. В этом случае можно искать требуемое значение Y как корень уравнения G(Y ) = X.

5. СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР

5.1.Случайный вектор с дискретным распределением

Пусть имеется n случайных величин, заданных на одном вероятностном пространстве. Вектор, состоящий из этих величин, называется случайным вектором, а соответствующие случайные величины – компонентами

54