Материал: Теория вероятностей, лекции

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

мает значение !1 ровно k раз и, соответственно, n k раз принимает значение !2. Вероятность каждого из таких событий равна pk(1 p)n k. Количество таких событий равно числу способов выбора мест для подстановки !1

в набор (u1, u2, ..., un), т. е. числу сочетаний Ck. Таким образом, просумми-
ровав вероятности этих событий,nполучим											n					p)n k	.
									P (X = k) = = Ckpk(1							p)n k
													n	.	n
В частности, P (X = 0) = (1 p) ,							P (X = n) = p							.
Построенное распределение называется биномиальным, его числовые
характеристики будут найдены в 5.5.
Пример. Симметричная монета подбрасывается 5 раз, X – число вы-
падений герба. Здесь n = 5, p = 1								p = 1=2, поэтому P (X = k) =
1		n
= C5k		, и распределенная по биномиальному закону случайная вели-
= C5k	2	, и распределенная по биномиальному закону случайная вели-
чина X имеет ряд распределения

			xi	0	1	2		3		4		5
			pi	1	5	10		10		5		1

				32	32	32		32		32		32
				32	32	32		32		32		32

Геометрическое распределение. Пусть независимые испытания Бернулли повторяются неограниченное число раз, по крайней мере до тех пор, пока первый раз не наступит исход !1. Пусть X – номер испытания, во время которого это произошло. Множеством возможных значений этой величины является множество всех натуральных чисел. Событие fX = kg означает, что в первых k 1 испытаниях наступил исход !2, а в

последнем, k-м испытании – !1. Поэтому, в силу независимости испытаний,

P (X = k) = p(1 p)k 1 (k = 1; 2; :::).

Используя формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, нетрудно убедиться, что сумма всех этих вероятностей действительно равна 1. Построенное распределение называется геометрическим. Найдем математическое ожидание случайной величины X, которое можно интерпретировать как среднее время ожидания первого наступления исхода !1. Для этого введем функцию h(z), представляющую собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаме-

нателем z, т. е.

h(z) = Xzk = 1 1 z;

k=0

и заметим, что по теореме о почленном дифференцировании степенного ряда

1		1
Xk
Xk	kzk 1 = (1		z)2	:
h0(z) =	kzk 1 = (1		z)2	:
=1

Используя формулу вычисления математического ожидания дискретной случайной величины и последнее равенство, находим

MfXg = Xkp(1 p)k 1 = ph0(1 p) = p p12 = p1:

k=1

Распределение Пуассона. Говорят, что случайная величина X имеет распределение Пуассона с параметром > 0, если она принимает только целые неотрицательные значения, причем

pk = P (X = k) = e	k
		(k = 0; 1; 2; :::):

	k!

Таким образом, X – дискретная случайная величина, имеющая бесконечно много возможных значений. Прежде всего проверим выполнение необходимых свойств указанного ряда распределения:

1)pk > 0 – очевидно;

2)согласно формуле разложения экспоненты в степенной ряд,

1	1	k
X	Xk
pk = e				= e e = 1:
k=0	=0		k!
k=0	=0

Найдем теперь числовые характеристики X. Согласно формуле вычисления математического ожидания дискретной случайной величины,

MfXg =

kpk = e

= e

1)!

k=1

= e 1

k 1

= e

= e e = :

(k 1)!

m=0

Начальный второй момент

k 1

MfX2g = k2pk = e

= e k

(k 1)!

k=1

1 m

= e m=0(m + 1)m! = e m=0 mm!

+ e m=0 m!

= (MfXg + 1) = ( + 1):

Тогда дисперсия

DfXg = MfX2g (MfXg)2 = ( + 1) 2 = :

4.7.Примеры распределений абсолютно непрерывных случайных величин

Равномерное распределение. Говорят, что случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [a; b], если ее плотность распределения постоянна на отрезке [a; b] и равна нулю вне этого отрезка. Поскольку интеграл от плотности по всей числовой оси, который в данном случае равен просто произведению постоянного значения плотности на длину отрезка, должен быть равен 1, получаем формулу для плотности:

f(x) = >b a; если x 2 [a; b];

>0; если x 62[a; b]:

f(x)

	. .
1	.	.
b a	.. . . ..
b a	.	.

График плотности равномерного распределе-	...... .
	.	.	.
			.
ния изображен на рис. 4.2.	a	b		x

	Соответственно, функция распределе-	Рис. 4.2
	ния определяется по формуле	Рис. 4.2
	ния определяется по формуле
	80; если x < a;
	>
	>
	>
	>
	>

x> x

F (x) =

f(t)dt = >

b 1 adt =

;

если x 2 [a; b];

(4.1)

<Za

>1; если x > b:

График функции

равномерного распределе-

F (x). .

ния изображен на рис. 4.3.

Ясно, что

центр тяжести\ равномерно-

. . . . . . ....

го распределения находится в середине отрез-

a + b

.. ...

ка [a; b], т. е. MfXg =

2 .

В этом также нетрудно убедиться, вы-

Рис. 4.3

числив

xf(x)dx = Z

a + b

dx =

Для вычисления дисперсии обозначим через h половину длины про-

межутка. Тогда

a + b

DfXg = Z (x MfXg)2f(x)dx =

Z x

dx =

b a

y2dy =

1 2h3

(b a)2

b a

b a 3

Соответственно, среднеквадратичное отклонение

qDfXg = b2p3

Нормальное распределение. Стандартным нормальным распределением называется абсолютно непрерывное распределение с плотностью

1			e	x2
f(x) =	p			2 ; x 2 R:
		2

График плотности стандартного нормального распределения показан на рис. 4.4.

f(x) 1

...

........

2 x

Рис. 4.4

Функция f(x), очевидно, положительна. Требуется еще проверить, что

величина

I = f(x)dx = 1:

Вычислим квадрат этого интеграла, сведя его к двойному интегралу и использовав переход к полярным координатам:

	1	1		x2	1		y2	1	1 1		x2+y2
I2 =		Z	e	2 dx	Z	e	2 dy =		Z Z	e	2 dx dy =
I2 =	2	Z	e	2 dx	Z	e	2 dy =	2	Z Z	e	2 dx dy =
		1		1					1 1

	1	2	1	r2	1			r2	+	1
=		d'	e			2	e		0
	2			2 rdr =	2			2		= 1:
		Z	Z

Отсюда, так как величина I, очевидно, положительна, следует, что

I = 1.

Кроме того, плотность f(x) является четной функцией, достигает максимального значения при x = 0, а с удалением x от нуля убывает достаточно быстро для того, чтобы при любом натуральном k существовали интегралы

1
k = Z	xkf(x)dx;

т. е. стандартное нормальное распределение имеет конечные начальные моменты любого порядка.

Если распределение имеет четную плотность, то оно называется симметричным. У такого распределения момент любого нечетного порядка, если он существует, равен нулю, как интеграл от нечетной функции xkf(x) по симметричному промежутку. Таким образом, у стандартного нормального распределения математическое ожидание равно нулю. Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой интегрирования по частям и сведем соответствующий интеграл к интегралу от плотности:

DfXg = Mf(X MfXg)2g = MfX2g =

x2e

2 dx =

dx1 = 0 +

e 2 dx = 1:

Итак, стандартное нормальное распределение имеет нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию.

Соответствующая функция распределения не может быть выражена через элементарные функции, поэтому ее приходится записывать как интеграл от плотности:

F (x) = (x) = p1	x	e t2 dt:
F (x) = (x) = p1	Z	e t2 dt:
		2

Для вычисления этой функции при положительных значениях аргумента существуют специальные таблицы. Кроме того, функция (x) легко

Источник: https://studfile.net/preview/16582588/

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Новая экономика': российская специфика
'Свадьба'. Керамика
"Волонтерство и его роль в системе социокультурных институтов"